Номер 213, страница 46 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

213. Для экспериментального определения атмосферного давления использовали стеклянную трубку длиной $l = 58 \text{ см}$, запаянную с одного конца. Открытым концом трубки, расположенной вертикально, коснулись поверхности воды и стали медленно опускать трубку вниз. Когда верхний конец трубки сравнялся с поверхностью воды, длина столбика воды, вошедшей в трубку, оказалась $l_0 = 3,0 \text{ см}$. Какое значение атмосферного давления было получено по результатам эксперимента? Модуль ускорения свободного падения $g = 9,8 \frac{M}{c^2}$.

Дано

$l = 58$ см
$l_0 = 3,0$ см
$g = 9,8 \frac{м}{с^2}$
Плотность воды $\rho = 1000 \frac{кг}{м^3}$

$l = 0,58$ м
$l_0 = 0,03$ м

Найти:

$P_a$ - ?

Решение

Рассмотрим два состояния воздуха в трубке. Процесс опускания трубки медленный, поэтому его можно считать изотермическим. Для изотермического процесса выполняется закон Бойля-Мариотта.

Состояние 1: до погружения трубки в воду.

Давление воздуха в трубке равно атмосферному давлению: $P_1 = P_a$.
Объем воздуха в трубке: $V_1 = S \cdot l$, где $S$ — площадь поперечного сечения трубки.

Состояние 2: трубка погружена в воду так, что ее верхний (запаянный) конец находится на уровне поверхности воды.

Вода вошла в трубку на высоту $l_0$. Следовательно, воздух в трубке сжался и занимает объем $V_2 = S \cdot (l - l_0)$.
Давление воздуха в трубке стало равным $P_2$.

Рассмотрим равновесие давлений на уровне воды внутри трубки. Этот уровень находится на глубине $h = l - l_0$ от поверхности воды снаружи. Давление снаружи на этой глубине равно сумме атмосферного и гидростатического давлений: $P_{внешн} = P_a + \rho g h = P_a + \rho g (l - l_0)$.

Давление внутри трубки на этом же уровне создается сжатым воздухом и равно $P_2$. В состоянии равновесия эти давления равны:

$P_2 = P_a + \rho g (l - l_0)$

Согласно закону Бойля-Мариотта для изотермического процесса:

$P_1 V_1 = P_2 V_2$

Подставим выражения для давлений и объемов:

$P_a \cdot S l = (P_a + \rho g (l - l_0)) \cdot S (l - l_0)$

Сократим площадь $S$:

$P_a l = P_a (l - l_0) + \rho g (l - l_0)^2$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение для нахождения $P_a$:

$P_a l = P_a l - P_a l_0 + \rho g (l - l_0)^2$

$P_a l_0 = \rho g (l - l_0)^2$

$P_a = \frac{\rho g (l - l_0)^2}{l_0}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$P_a = \frac{1000 \frac{кг}{м^3} \cdot 9,8 \frac{м}{с^2} \cdot (0,58 \text{ м} - 0,03 \text{ м})^2}{0,03 \text{ м}} = \frac{9800 \cdot (0,55)^2}{0,03} = \frac{9800 \cdot 0,3025}{0,03} = \frac{2964,5}{0,03} \approx 98817 \text{ Па}$

Округлим результат до двух значащих цифр, так как исходные данные даны с такой точностью:

$P_a \approx 9,9 \cdot 10^4 \text{ Па} = 99 \text{ кПа}$

Ответ: $P_a = \frac{\rho g (l - l_0)^2}{l_0} \approx 99$ кПа.