Номер 203, страница 44 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

203. Закрытый горизонтальный цилиндрический сосуд длиной $l$ разделен на две равные части невесомым тонким гладким поршнем. При застопоренном поршне обе половины сосуда заполнены идеальным газом, причем в одной из них давление газа в $\alpha$ раз больше, чем в другой. Стопор отпускают. И поршень смещается, занимая положение устойчивого равновесия. Определите смещение поршня. Температуру газа считать неизменной.

Дано:

Длина сосуда: $l$

Отношение начальных давлений: $p_1 / p_2 = \alpha$

Начальные длины частей сосуда: $L_1 = L_2 = l/2$

Процесс изотермический: $T = const$

Найти:

Смещение поршня: $x$

Решение:

Поскольку температура газа в сосуде остается неизменной, процесс, происходящий с газом в обеих частях сосуда после освобождения поршня, является изотермическим. Для изотермического процесса справедлив закон Бойля-Мариотта, согласно которому произведение давления газа на его объем остается постоянным ($pV = const$).

Пусть $S$ - площадь поперечного сечения цилиндрического сосуда. Изначально сосуд разделен на две равные части, поэтому начальные объемы газа в обеих половинах равны:

$V_1 = V_2 = S \cdot \frac{l}{2}$

Начальные давления в частях сосуда обозначим $p_1$ и $p_2$. По условию, в одной из них давление в $\alpha$ раз больше, чем в другой. Будем считать, что $p_1 = \alpha p_2$. Поскольку поршень смещается из области большего давления в область меньшего, он будет двигаться от газа с давлением $p_1$ к газу с давлением $p_2$.

После того как стопор отпускают, поршень перемещается и останавливается в положении равновесия. В этом положении давления газа по обе стороны от поршня становятся равными. Обозначим это конечное давление как $p'$.

Пусть поршень сместился на расстояние $x$. Тогда длина части с изначально большим давлением ($p_1$) увеличится и станет $L'_1 = \frac{l}{2} + x$, а ее объем станет $V'_1 = S(\frac{l}{2} + x)$. Длина части с изначально меньшим давлением ($p_2$) уменьшится и станет $L'_2 = \frac{l}{2} - x$, а ее объем станет $V'_2 = S(\frac{l}{2} - x)$.

Запишем закон Бойля-Мариотта для газа в каждой части сосуда:

Для первой части (которая расширялась):

$p_1 V_1 = p' V'_1 \implies p_1 S \frac{l}{2} = p' S (\frac{l}{2} + x)$

Для второй части (которая сжималась):

$p_2 V_2 = p' V'_2 \implies p_2 S \frac{l}{2} = p' S (\frac{l}{2} - x)$

Сократив площадь $S$ в обоих уравнениях, получим систему:

$p_1 \frac{l}{2} = p' (\frac{l}{2} + x)$

$p_2 \frac{l}{2} = p' (\frac{l}{2} - x)$

Чтобы найти смещение $x$, разделим первое уравнение на второе. Это позволит нам исключить неизвестное конечное давление $p'$:

$\frac{p_1 l/2}{p_2 l/2} = \frac{p' (\frac{l}{2} + x)}{p' (\frac{l}{2} - x)}$

$\frac{p_1}{p_2} = \frac{l/2 + x}{l/2 - x}$

Используя условие $p_1/p_2 = \alpha$, получаем:

$\alpha = \frac{l/2 + x}{l/2 - x}$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$\alpha (\frac{l}{2} - x) = \frac{l}{2} + x$

$\alpha \frac{l}{2} - \alpha x = \frac{l}{2} + x$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а остальные - в другую:

$\alpha \frac{l}{2} - \frac{l}{2} = x + \alpha x$

$\frac{l}{2}(\alpha - 1) = x(\alpha + 1)$

Отсюда находим смещение поршня $x$:

$x = \frac{l}{2} \frac{\alpha - 1}{\alpha + 1}$

Ответ: $x = l \frac{\alpha - 1}{2(\alpha + 1)}$