Номер 200, страница 43 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

200. В вертикальном цилиндрическом сосуде под гладким поршнем находится идеальный газ. Чтобы уменьшить объем газа в $\alpha = 2$ раза, на поршень надо положить груз массой $m_1 = 1$ кг. Груз какой массы надо дополнительно положить на поршень, чтобы уменьшить объем газа еще в $\beta = 3$ раза? Температура газа поддерживается постоянной.

Дано:

$\alpha = V_0/V_1 = 2$

$m_1 = 1$ кг

$\beta = V_1/V_2 = 3$

$T = \text{const}$ (процесс изотермический)

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$m_2$

Решение:

Так как температура газа поддерживается постоянной, процесс сжатия газа является изотермическим. Для изотермического процесса справедлив закон Бойля-Мариотта, согласно которому произведение давления газа на его объем остается постоянным:

$pV = \text{const}$

Рассмотрим три состояния газа:

1. Начальное состояние: давление $p_0$, объем $V_0$. Давление $p_0$ создается весом поршня и атмосферным давлением.

2. Первое сжатие: на поршень кладут груз массой $m_1$. Объем газа становится $V_1 = V_0 / \alpha$. Давление газа становится $p_1$. Давление $p_1$ создается весом поршня, атмосферным давлением и весом груза $m_1$. Если $S$ - площадь поршня, то $p_1 = p_0 + \frac{m_1g}{S}$.

3. Второе сжатие: на поршень дополнительно кладут груз массой $m_2$. Объем газа становится $V_2 = V_1 / \beta = V_0 / (\alpha\beta)$. Давление газа становится $p_2$. Давление $p_2$ создается весом поршня, атмосферным давлением и весом обоих грузов $m_1$ и $m_2$. То есть, $p_2 = p_1 + \frac{m_2g}{S}$.

Применим закон Бойля-Мариотта для перехода из состояния 1 в состояние 2:

$p_0 V_0 = p_1 V_1$

Подставим $V_1 = V_0 / \alpha$:

$p_0 V_0 = p_1 \frac{V_0}{\alpha} \implies p_1 = \alpha p_0$

Теперь подставим выражение для $p_1$ через $p_0$:

$\alpha p_0 = p_0 + \frac{m_1g}{S}$

$(\alpha - 1)p_0 = \frac{m_1g}{S}$ (1)

Применим закон Бойля-Мариотта для перехода из состояния 2 в состояние 3:

$p_1 V_1 = p_2 V_2$

Подставим $V_2 = V_1 / \beta$:

$p_1 V_1 = p_2 \frac{V_1}{\beta} \implies p_2 = \beta p_1$

Подставим выражение для $p_2$ через $p_1$:

$\beta p_1 = p_1 + \frac{m_2g}{S}$

$(\beta - 1)p_1 = \frac{m_2g}{S}$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений. Из уравнения (2) выразим $p_1$:

$p_1 = \frac{m_2g}{S(\beta - 1)}$

Так как $p_1 = \alpha p_0$, то $p_0 = \frac{p_1}{\alpha} = \frac{m_2g}{S\alpha(\beta - 1)}$.

Теперь подставим это выражение для $p_0$ в уравнение (1):

$(\alpha - 1) \frac{m_2g}{S\alpha(\beta - 1)} = \frac{m_1g}{S}$

Сократим общие множители $g/S$ в обеих частях уравнения:

$\frac{(\alpha - 1)m_2}{\alpha(\beta - 1)} = m_1$

Выразим искомую массу $m_2$:

$m_2 = \frac{\alpha(\beta - 1)m_1}{\alpha - 1}$

Подставим числовые значения:

$m_2 = \frac{2 \cdot (3 - 1) \cdot 1 \text{ кг}}{2 - 1} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 1}{1} = 4$ кг.

Ответ: дополнительно на поршень надо положить груз массой 4 кг.