Номер 194, страница 42 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

194. Шар вместимостью $V = 190 \text{ см}^3$ наполнен воздухом, давление которого $p = 600 \text{ мм рт. ст.}$ Шар частично погружают в сосуд с водой и в нижней части шара прокалывают маленькое отверстие. Определите массу воды, которая войдет в шар. Атмосферное давление $p_0 = 760 \text{ мм рт. ст.}$ Температура воздуха остается постоянной. Уровни воды в шаре и сосуде совпадают.

Дано:

Вместимость шара: $V = 190 \text{ см}^3$

Начальное давление воздуха в шаре: $p = 600 \text{ мм рт. ст.}$

Атмосферное давление: $p_0 = 760 \text{ мм рт. ст.}$

Температура воздуха: $T = \text{const}$

Плотность воды: $\rho_{воды} \approx 1 \text{ г/см}^3$

$V = 190 \text{ см}^3 = 190 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = 1.9 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3$
$\rho_{воды} = 1 \text{ г/см}^3 = 1000 \text{ кг/м}^3$

Найти:

Массу воды, вошедшей в шар: $m_{воды}$

Решение:

Поскольку температура воздуха в шаре остается постоянной, процесс, происходящий с ним, является изотермическим. Для описания этого процесса можно применить закон Бойля-Мариотта:

$p_1 V_1 = p_2 V_2$

где $p_1$ и $V_1$ – начальные давление и объем воздуха, а $p_2$ и $V_2$ – конечные.

В начальном состоянии воздух занимает весь объем шара:
$p_1 = p = 600 \text{ мм рт. ст.}$
$V_1 = V = 190 \text{ см}^3$

В конечном состоянии, когда в шар через отверстие войдет вода, часть объема будет занята водой. Оставшийся объем $V_2$ будет занимать воздух. По условию, уровни воды в шаре и сосуде совпадают. Это означает, что давление воздуха, оставшегося в шаре, уравновешивается атмосферным давлением:
$p_2 = p_0 = 760 \text{ мм рт. ст.}$

Используя закон Бойля-Мариотта, найдем конечный объем воздуха $V_2$:

$p V = p_0 V_2$

Отсюда:

$V_2 = V \frac{p}{p_0}$

Объем воды $V_{воды}$, которая вошла в шар, равен разности между общим объемом шара и конечным объемом воздуха:

$V_{воды} = V - V_2 = V - V \frac{p}{p_0} = V \left(1 - \frac{p}{p_0}\right)$

Подставим числовые значения. Так как давление входит в виде отношения, можно не переводить его в Паскали.

$V_{воды} = 190 \text{ см}^3 \cdot \left(1 - \frac{600 \text{ мм рт. ст.}}{760 \text{ мм рт. ст.}}\right) = 190 \cdot \left(1 - \frac{60}{76}\right) = 190 \cdot \left(1 - \frac{15}{19}\right)$

$V_{воды} = 190 \cdot \left(\frac{19 - 15}{19}\right) = 190 \cdot \frac{4}{19} = 10 \cdot 4 = 40 \text{ см}^3$

Массу вошедшей воды найдем по формуле $m = \rho \cdot V$, где плотность воды $\rho_{воды} \approx 1 \text{ г/см}^3$:

$m_{воды} = \rho_{воды} \cdot V_{воды} = 1 \text{ г/см}^3 \cdot 40 \text{ см}^3 = 40 \text{ г}$

Ответ: масса воды, которая войдет в шар, равна 40 г.