Номер 188, страница 41 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

188. График процессов изменения состояния идеального газа определенной массы в координатах $(p, V)$ представляет собой треугольник $ABC$. Координаты вершин треугольника: $A(120 \text{ кПа}; 12 \text{ л})$, $B(120 \text{ кПа}; 24 \text{ л})$, $C(60 \text{ кПа}; 12 \text{ л})$. Определите отношение максимальной к минимальной абсолютной температуре, которой достигал газ в этих процессах.

Дано:

Координаты вершин треугольника в системе (p, V):

Точка A: $p_A = 120 \text{ кПа}$, $V_A = 12 \text{ л}$

Точка B: $p_B = 120 \text{ кПа}$, $V_B = 24 \text{ л}$

Точка C: $p_C = 60 \text{ кПа}$, $V_C = 12 \text{ л}$

Перевод в систему СИ:

$p_A = 120 \times 10^3 \text{ Па}$

$V_A = 12 \times 10^{-3} \text{ м}^3$

$p_B = 120 \times 10^3 \text{ Па}$

$V_B = 24 \times 10^{-3} \text{ м}^3$

$p_C = 60 \times 10^3 \text{ Па}$

$V_C = 12 \times 10^{-3} \text{ м}^3$

Найти:

Отношение максимальной абсолютной температуры к минимальной: $\frac{T_{max}}{T_{min}}$

Решение:

Состояние идеального газа описывается уравнением Менделеева-Клапейрона:

$pV = \nu RT$

где $p$ – давление, $V$ – объем, $\nu$ – количество вещества, $R$ – универсальная газовая постоянная, $T$ – абсолютная температура.

Поскольку масса газа постоянна, количество вещества $\nu$ также является постоянной величиной. Следовательно, из уравнения состояния можно выразить температуру:

$T = \frac{pV}{\nu R}$

Так как $\nu$ и $R$ — константы, то абсолютная температура $T$ прямо пропорциональна произведению давления $p$ на объем $V$:

$T \propto pV$

Чтобы найти отношение максимальной и минимальной температур, нужно найти максимальное и минимальное значения произведения $pV$ в ходе всего процесса.

Для начала найдем значения произведения $pV$ в вершинах треугольника A, B и C.

$p_A V_A = (120 \text{ кПа}) \cdot (12 \text{ л}) = 1440 \text{ условных единиц}$

$p_B V_B = (120 \text{ кПа}) \cdot (24 \text{ л}) = 2880 \text{ условных единиц}$

$p_C V_C = (60 \text{ кПа}) \cdot (12 \text{ л}) = 720 \text{ условных единиц}$

Теперь проанализируем, как меняется температура на каждом участке цикла:

1. Участок A → B: Это изобарный процесс, так как $p_A = p_B = 120 \text{ кПа} = \text{const}$. В этом процессе температура пропорциональна объему ($T \propto V$). Поскольку объем увеличивается от $V_A = 12 \text{ л}$ до $V_B = 24 \text{ л}$, температура монотонно возрастает от $T_A$ до $T_B$.

2. Участок C → A: Это изохорный процесс, так как $V_C = V_A = 12 \text{ л} = \text{const}$. В этом процессе температура пропорциональна давлению ($T \propto p$). Поскольку давление увеличивается от $p_C = 60 \text{ кПа}$ до $p_A = 120 \text{ кПа}$, температура монотонно возрастает от $T_C$ до $T_A$.

3. Участок B → C: В этом процессе изменяются и давление, и объем. График представляет собой прямую линию, проходящую через точки B(24 л; 120 кПа) и C(12 л; 60 кПа). Уравнение этой прямой в координатах (V, p) имеет вид $p = k V + b$. Найдем k и b:

$k = \frac{p_B - p_C}{V_B - V_C} = \frac{120 - 60}{24 - 12} = \frac{60}{12} = 5 \text{ кПа/л}$

Подставим координаты точки C, чтобы найти b:

$60 = 5 \cdot 12 + b \implies b = 0$

Таким образом, на участке B → C зависимость давления от объема описывается уравнением $p = 5V$.

Температура на этом участке пропорциональна $pV = (5V)V = 5V^2$. В процессе B → C объем уменьшается от 24 л до 12 л, следовательно, температура монотонно убывает от $T_B$ до $T_C$.

Из анализа всех участков следует, что максимальная температура в цикле достигается в точке B, а минимальная — в точке C.

$T_{max} = T_B$

$T_{min} = T_C$

Найдем их отношение:

$\frac{T_{max}}{T_{min}} = \frac{T_B}{T_C} = \frac{p_B V_B / (\nu R)}{p_C V_C / (\nu R)} = \frac{p_B V_B}{p_C V_C}$

Подставим числовые значения:

$\frac{T_{max}}{T_{min}} = \frac{120 \text{ кПа} \cdot 24 \text{ л}}{60 \text{ кПа} \cdot 12 \text{ л}} = \frac{2880}{720} = 4$

Ответ: 4