Номер 195, страница 42 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

195. Пузырек воздуха поднимается со дна водоема. Какова глубина водоема, если радиус пузырька у поверхности воды в $\alpha = 2,0$ раза больше, чем на дне? Атмосферное давление $p_0 = 100$ кПа. Температура воздуха в пузырьке остается постоянной.

Дано:

$\alpha = \frac{r_2}{r_1} = 2.0$

$p_0 = 100 \text{ кПа} = 100 \cdot 10^3 \text{ Па} = 10^5 \text{ Па}$

$T = \text{const}$

$\rho \approx 1000 \text{ кг/м}^3$ (плотность воды)

$g \approx 10 \text{ м/с}^2$ (ускорение свободного падения)

Найти:

$h$ - ?

Решение:

Поскольку температура воздуха в пузырьке остается постоянной, процесс его подъема со дна на поверхность является изотермическим. Для такого процесса справедлив закон Бойля-Мариотта, который гласит, что произведение давления газа на его объем остается постоянным:

$p_1 V_1 = p_2 V_2$

Здесь $p_1$ и $V_1$ — давление и объем воздуха в пузырьке на дне водоема, а $p_2$ и $V_2$ — его давление и объем у поверхности.

Давление $p_1$ на дне водоема на глубине $h$ складывается из атмосферного давления $p_0$ и гидростатического давления столба воды высотой $h$:

$p_1 = p_0 + \rho g h$

Давление $p_2$ у поверхности воды равно атмосферному давлению:

$p_2 = p_0$

Объем пузырька (считаем его сферическим) связан с его радиусом $r$ формулой объема шара:

$V = \frac{4}{3}\pi r^3$

Пусть $r_1$ — радиус пузырька на дне, а $r_2$ — радиус у поверхности. Тогда их объемы равны:

$V_1 = \frac{4}{3}\pi r_1^3$

$V_2 = \frac{4}{3}\pi r_2^3$

По условию задачи, радиус у поверхности в $\alpha$ раз больше, чем на дне: $r_2 = \alpha r_1$. Подставим это в выражение для объема $V_2$:

$V_2 = \frac{4}{3}\pi (\alpha r_1)^3 = \alpha^3 \left(\frac{4}{3}\pi r_1^3\right) = \alpha^3 V_1$

Теперь подставим выражения для давлений и объемов в закон Бойля-Мариотта:

$(p_0 + \rho g h) V_1 = p_0 (\alpha^3 V_1)$

Объем $V_1$ можно сократить в обеих частях уравнения:

$p_0 + \rho g h = p_0 \alpha^3$

Теперь выразим искомую глубину $h$:

$\rho g h = p_0 \alpha^3 - p_0$

$\rho g h = p_0 (\alpha^3 - 1)$

$h = \frac{p_0 (\alpha^3 - 1)}{\rho g}$

Подставим числовые значения из условия и справочные данные:

$h = \frac{10^5 \text{ Па} \cdot (2.0^3 - 1)}{1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \frac{10^5 \cdot (8 - 1)}{10^4} = \frac{10^5 \cdot 7}{10^4} = 10 \cdot 7 = 70 \text{ м}$

Ответ: глубина водоема составляет 70 м.