Номер 192, страница 42 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

192. Объем идеального газа изотермически увеличился на $\Delta V = 14 \text{ см}^3$. При этом давление газа понизилось от $p_1 = 150 \text{ кПа}$ до $p_2 = 125 \text{ кПа}$. Определите начальный объем газа.

Дано:

$ \Delta V = 14 \text{ см}^3 $

$ p_1 = 150 \text{ кПа} $

$ p_2 = 125 \text{ кПа} $

$ T = \text{const} $ (изотермический процесс)

Перевод в систему СИ:

$ \Delta V = 14 \times (10^{-2} \text{ м})^3 = 14 \times 10^{-6} \text{ м}^3 $

$ p_1 = 150 \times 10^3 \text{ Па} = 1.5 \times 10^5 \text{ Па} $

$ p_2 = 125 \times 10^3 \text{ Па} = 1.25 \times 10^5 \text{ Па} $

Найти:

$ V_1 $ - начальный объем газа.

Решение:

Процесс, описанный в задаче, является изотермическим, так как по условию температура газа не изменяется ($ T = \text{const} $). Для изотермического процесса в идеальном газе справедлив закон Бойля-Мариотта, согласно которому произведение давления газа на его объем остается постоянным:

$ pV = \text{const} $

Следовательно, для начального (1) и конечного (2) состояний газа можно записать равенство:

$ p_1 V_1 = p_2 V_2 $

где $ p_1 $ и $ V_1 $ — начальные давление и объем газа, а $ p_2 $ и $ V_2 $ — конечные давление и объем газа.

По условию задачи, объем газа увеличился на величину $ \Delta V $. Значит, конечный объем $ V_2 $ связан с начальным объемом $ V_1 $ следующим соотношением:

$ V_2 = V_1 + \Delta V $

Подставим это выражение для $ V_2 $ в уравнение закона Бойля-Мариотта:

$ p_1 V_1 = p_2 (V_1 + \Delta V) $

Теперь необходимо решить это уравнение относительно искомой величины $ V_1 $. Раскроем скобки:

$ p_1 V_1 = p_2 V_1 + p_2 \Delta V $

Перенесем слагаемые, содержащие $ V_1 $, в левую часть уравнения:

$ p_1 V_1 - p_2 V_1 = p_2 \Delta V $

Вынесем $ V_1 $ за скобки:

$ V_1 (p_1 - p_2) = p_2 \Delta V $

Отсюда выразим $ V_1 $:

$ V_1 = \frac{p_2 \Delta V}{p_1 - p_2} $

Теперь подставим числовые значения из условия задачи в полученную формулу. Так как в формулу входят отношения давлений, можно оставить их в килопаскалях, а изменение объема — в кубических сантиметрах. Тогда результат для начального объема также будет в кубических сантиметрах.

$ V_1 = \frac{125 \text{ кПа} \cdot 14 \text{ см}^3}{150 \text{ кПа} - 125 \text{ кПа}} = \frac{125 \cdot 14}{25} \text{ см}^3 = 5 \cdot 14 \text{ см}^3 = 70 \text{ см}^3 $

Для проверки проведем вычисления в системе СИ:

$ V_1 = \frac{1.25 \times 10^5 \text{ Па} \cdot 14 \times 10^{-6} \text{ м}^3}{1.5 \times 10^5 \text{ Па} - 1.25 \times 10^5 \text{ Па}} = \frac{1.25 \times 10^5 \cdot 14 \times 10^{-6}}{0.25 \times 10^5} \text{ м}^3 $

$ V_1 = \frac{1.25 \cdot 14 \times 10^{-6}}{0.25} \text{ м}^3 = 5 \cdot 14 \times 10^{-6} \text{ м}^3 = 70 \times 10^{-6} \text{ м}^3 $

Переведем результат обратно в кубические сантиметры ($ 1 \text{ м}^3 = 10^6 \text{ см}^3 $):

$ V_1 = 70 \times 10^{-6} \text{ м}^3 = 70 \text{ см}^3 $

Результаты совпали.

Ответ: начальный объем газа равен $ 70 \text{ см}^3 $.