Номер 198, страница 43 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

198. Газ, находящийся в цилиндре под легким гладким поршнем, сначала занимал объем $V_1 = 240 \text{ см}^3$ при давлении $p_1 = 100 \text{ кПа}$. Затем газ изотермически сжали, сместив поршень на $\Delta r = 20 \text{ мм}$. Определите модуль силы, которую прилагают, действуя перпендикулярно поршню, чтобы удерживать его в новом положении. Площадь поршня $S = 24 \text{ см}^2$.

Дано:

$V_1 = 240 \text{ см}^3 = 240 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = 2.4 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3$

$p_1 = 100 \text{ кПа} = 100 \cdot 10^3 \text{ Па} = 10^5 \text{ Па}$

$\Delta r = 20 \text{ мм} = 20 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 2 \cdot 10^{-2} \text{ м}$

$S = 24 \text{ см}^2 = 24 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 2.4 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2$

$T = \text{const}$ (процесс изотермический)

Найти:

$F$

Решение:

Поскольку процесс сжатия газа является изотермическим, для него справедлив закон Бойля-Мариотта:

$p_1 V_1 = p_2 V_2$

где $p_1$ и $V_1$ – начальные давление и объем газа, а $p_2$ и $V_2$ – конечные давление и объем газа.

Сначала определим изменение объема газа $\Delta V$ при смещении поршня на расстояние $\Delta r$.

$\Delta V = S \cdot \Delta r$

Подставим числовые значения:

$\Delta V = 2.4 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2 \cdot 2 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 4.8 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3$

Так как газ сжимали, его конечный объем $V_2$ будет меньше начального:

$V_2 = V_1 - \Delta V = 2.4 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3 - 4.8 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3 = 24 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3 - 4.8 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3 = 19.2 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3 = 1.92 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3$

Теперь из закона Бойля-Мариотта найдем конечное давление газа $p_2$:

$p_2 = p_1 \frac{V_1}{V_2}$

$p_2 = 10^5 \text{ Па} \cdot \frac{2.4 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3}{1.92 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3} = 10^5 \text{ Па} \cdot 1.25 = 1.25 \cdot 10^5 \text{ Па}$

Сила $F$, которую нужно приложить, чтобы удерживать поршень, должна уравновесить силу избыточного давления газа. В начальном состоянии поршень находился в равновесии, значит, давление газа $p_1$ уравновешивалось внешним давлением (например, атмосферным). После сжатия давление газа увеличилось до $p_2$. Таким образом, дополнительная сила, которую нужно приложить, вызвана разностью давлений $\Delta p = p_2 - p_1$.

Сила $F$ равна произведению избыточного давления на площадь поршня:

$F = \Delta p \cdot S = (p_2 - p_1) \cdot S$

Вычислим значение силы:

$F = (1.25 \cdot 10^5 \text{ Па} - 1 \cdot 10^5 \text{ Па}) \cdot 2.4 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2 = 0.25 \cdot 10^5 \text{ Па} \cdot 2.4 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2 = 25000 \cdot 0.0024 \text{ Н} = 60 \text{ Н}$

Ответ: $60 \text{ Н}$.