Номер 196, страница 42 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

196. Небольшой пузырек воздуха медленно поднимается в водоеме с глубины $h_1$, где на него действовала сила Архимеда, модуль которой $F_{A1} = 3,9$ мН. На глубине $h_2 = 2,0$ м на пузырек действует сила Архимеда, модуль которой $F_{A2} = 5,2$ мН. Атмосферное давление $p_0 = 100$ кПа. Определите глубину $h_1$, если изменением температуры воздуха в пузырьке пренебречь.

Дано:

$F_{A1} = 3,9 \text{ мН} = 3,9 \cdot 10^{-3} \text{ Н}$

$h_2 = 2,0 \text{ м}$

$F_{A2} = 5,2 \text{ мН} = 5,2 \cdot 10^{-3} \text{ Н}$

$p_0 = 100 \text{ кПа} = 10^5 \text{ Па}$

$T = \text{const}$

$\rho_{\text{воды}} = 1000 \text{ кг/м}^3$

$g \approx 10 \text{ Н/кг}$

Найти:

$h_1$

Решение:

Сила Архимеда, действующая на пузырек, определяется формулой $F_A = \rho_{\text{воды}} g V$, где $\rho_{\text{воды}}$ – плотность воды, $g$ – ускорение свободного падения, а $V$ – объем пузырька.

Отсюда можно выразить объемы пузырька на глубинах $h_1$ и $h_2$:

$V_1 = \frac{F_{A1}}{\rho_{\text{воды}} g}$

$V_2 = \frac{F_{A2}}{\rho_{\text{воды}} g}$

Поскольку пузырек поднимается медленно, а его температура не изменяется, процесс можно считать изотермическим. Для изотермического процесса справедлив закон Бойля–Мариотта: $p_1 V_1 = p_2 V_2$, где $p_1$ и $p_2$ – давление воздуха в пузырьке на соответствующих глубинах.

Давление в пузырьке на глубине $h$ равно сумме атмосферного давления $p_0$ и гидростатического давления столба воды $\rho_{\text{воды}} g h$:

$p_1 = p_0 + \rho_{\text{воды}} g h_1$

$p_2 = p_0 + \rho_{\text{воды}} g h_2$

Подставим выражения для объемов и давлений в закон Бойля–Мариотта:

$(p_0 + \rho_{\text{воды}} g h_1) \frac{F_{A1}}{\rho_{\text{воды}} g} = (p_0 + \rho_{\text{воды}} g h_2) \frac{F_{A2}}{\rho_{\text{воды}} g}$

Сократим общий множитель $\frac{1}{\rho_{\text{воды}} g}$:

$(p_0 + \rho_{\text{воды}} g h_1) F_{A1} = (p_0 + \rho_{\text{воды}} g h_2) F_{A2}$

Выразим из этого уравнения искомую глубину $h_1$:

$p_0 F_{A1} + \rho_{\text{воды}} g h_1 F_{A1} = p_0 F_{A2} + \rho_{\text{воды}} g h_2 F_{A2}$

$\rho_{\text{воды}} g h_1 F_{A1} = p_0 (F_{A2} - F_{A1}) + \rho_{\text{воды}} g h_2 F_{A2}$

$h_1 = \frac{p_0 (F_{A2} - F_{A1}) + \rho_{\text{воды}} g h_2 F_{A2}}{\rho_{\text{воды}} g F_{A1}}$

Для удобства расчетов преобразуем формулу:

$h_1 = \frac{p_0}{\rho_{\text{воды}} g} \left( \frac{F_{A2}}{F_{A1}} - 1 \right) + h_2 \frac{F_{A2}}{F_{A1}}$

Найдем отношение сил Архимеда:

$\frac{F_{A2}}{F_{A1}} = \frac{5,2 \cdot 10^{-3}}{3,9 \cdot 10^{-3}} = \frac{52}{39} = \frac{4}{3}$

Подставим числовые значения в формулу для $h_1$:

$h_1 = \frac{10^5 \text{ Па}}{1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 10 \text{ Н/кг}} \left( \frac{4}{3} - 1 \right) + 2,0 \text{ м} \cdot \frac{4}{3}$

$h_1 = 10 \text{ м} \cdot \frac{1}{3} + \frac{8,0}{3} \text{ м} = \frac{10}{3} \text{ м} + \frac{8}{3} \text{ м} = \frac{18}{3} \text{ м} = 6,0 \text{ м}$

Ответ: $h_1 = 6,0 \text{ м}$.