Номер 201, страница 43 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

201. Горизонтальный цилиндр, закрытый с обоих концов, разделен гладким подвижным поршнем массой $m$ и площадью поперечного сечения $S$ на две равные части, в которых находится идеальный газ, создающий давление $p_0$. Определите модуль ускорения, с которым вдоль своей оси должен двигаться цилиндр, чтобы отношение объемов газа стало $\alpha = 2$. Температура газа не изменяется.

Дано:

$m$ – масса поршня

$S$ – площадь поперечного сечения поршня

$p_0$ – начальное давление газа в обеих частях

$α = 2$ – конечное отношение объемов газа

$T = const$ – температура газа постоянна

Найти:

$a$ – модуль ускорения цилиндра

Решение:

В начальном состоянии, когда цилиндр покоится, поршень находится посередине, и объемы газа в обеих частях равны $V_0$. Давление в обеих частях равно $p_0$.

Когда цилиндр начинает двигаться с ускорением $a$ вдоль своей оси, поршень смещается относительно цилиндра до тех пор, пока силы, действующие на него, не обеспечат ему такое же ускорение $a$. В результате смещения объемы газа в двух частях станут разными. Обозначим их $V_1$ и $V_2$.

Пусть объем одной части стал больше, а другой – меньше. Согласно условию, их отношение равно $α$. Для определенности, пусть $V_1 > V_2$, тогда $V_1/V_2 = α = 2$.

Общий объем газа в цилиндре не изменяется: $V_1 + V_2 = V_0 + V_0 = 2V_0$.

Решим систему уравнений:

$V_1 = αV_2$

$V_1 + V_2 = 2V_0$

Подставим первое уравнение во второе:

$αV_2 + V_2 = 2V_0 \implies V_2(α + 1) = 2V_0 \implies V_2 = \frac{2V_0}{α + 1}$

Тогда $V_1 = αV_2 = \frac{2αV_0}{α + 1}$.

Так как процесс происходит при постоянной температуре ($T=const$), то для идеального газа можно применить закон Бойля-Мариотта ($pV = const$):

Для первой части: $p_1V_1 = p_0V_0$, откуда давление $p_1 = p_0\frac{V_0}{V_1} = p_0\frac{V_0}{2αV_0 / (α + 1)} = \frac{p_0(α + 1)}{2α}$.

Для второй части: $p_2V_2 = p_0V_0$, откуда давление $p_2 = p_0\frac{V_0}{V_2} = p_0\frac{V_0}{2V_0 / (α + 1)} = \frac{p_0(α + 1)}{2}$.

Поскольку $α = 2 > 1$, то $p_2 > p_1$. Это означает, что газ во второй, меньшей по объему части, сжат сильнее. Сила давления со стороны сжатого газа ($F_2 = p_2S$) больше силы давления со стороны расширенного газа ($F_1 = p_1S$). Разность этих сил и сообщает поршню ускорение $a$ согласно второму закону Ньютона.

Направим ось $x$ в сторону ускорения $a$. Тогда сила $F_2$ будет направлена по оси $x$, а сила $F_1$ – против оси $x$. Второй закон Ньютона для поршня в проекции на ось $x$ имеет вид:

$F_2 - F_1 = ma$

$(p_2 - p_1)S = ma$

Подставим выражения для давлений $p_1$ и $p_2$:

$\left( \frac{p_0(α + 1)}{2} - \frac{p_0(α + 1)}{2α} \right)S = ma$

Вынесем общий множитель за скобки:

$\frac{p_0S(α + 1)}{2} \left( 1 - \frac{1}{α} \right) = ma$

$\frac{p_0S(α + 1)}{2} \left( \frac{α - 1}{α} \right) = ma$

$\frac{p_0S(α^2 - 1)}{2α} = ma$

Отсюда выразим модуль ускорения $a$:

$a = \frac{p_0S(α^2 - 1)}{2αm}$

Подставим численное значение $α = 2$:

$a = \frac{p_0S(2^2 - 1)}{2 \cdot 2 \cdot m} = \frac{p_0S(4 - 1)}{4m} = \frac{3p_0S}{4m}$

Ответ: $a = \frac{3p_0S}{4m}$