Номер 181, страница 40 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

181. Постройте графики зависимости плотности идеального газа постоянной массы от абсолютной температуры при изобарном и изохорном процессах.

Дано:

Идеальный газ

$m = const$ (масса постоянна)

$M = const$ (молярная масса постоянна)

Найти:

Зависимость плотности от абсолютной температуры $\rho(T)$ и вид ее графика для изобарного и изохорного процессов.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона):

$pV = \frac{m}{M}RT$

где $p$ – давление, $V$ – объем, $m$ – масса газа, $M$ – молярная масса газа, $R$ – универсальная газовая постоянная, $T$ – абсолютная температура.

Плотность газа $\rho$ по определению равна:

$\rho = \frac{m}{V}$

Из этой формулы выразим объем $V$ и подставим его в уравнение состояния:

$V = \frac{m}{\rho}$

$p \frac{m}{\rho} = \frac{m}{M}RT$

Так как по условию масса газа $m$ постоянна и не равна нулю, мы можем сократить ее в обеих частях уравнения:

$\frac{p}{\rho} = \frac{RT}{M}$

Отсюда выразим зависимость плотности $\rho$ от других параметров:

$\rho = \frac{pM}{RT}$

Теперь рассмотрим эту зависимость для каждого из заданных процессов.

Изобарный процесс

Изобарный процесс протекает при постоянном давлении ($p = const$). В уравнении $\rho = \frac{pM}{RT}$ величины $p$, $M$ и $R$ являются постоянными. Объединим их в один постоянный коэффициент $C_1 = \frac{pM}{R}$. Тогда зависимость плотности от температуры примет вид:

$\rho = \frac{C_1}{T}$

Данное уравнение показывает, что плотность идеального газа при постоянном давлении обратно пропорциональна его абсолютной температуре. Графиком такой зависимости является гипербола. Поскольку физический смысл имеют только положительные значения плотности и температуры, график будет расположен в первом координатном квадранте.

Ответ: При изобарном процессе плотность идеального газа постоянной массы обратно пропорциональна абсолютной температуре. График зависимости $\rho(T)$ является гиперболой.

Изохорный процесс

Изохорный процесс протекает при постоянном объеме ($V = const$). Воспользуемся определением плотности:

$\rho = \frac{m}{V}$

По условию задачи масса газа $m$ постоянна. В изохорном процессе объем $V$ также постоянен. Следовательно, их отношение, то есть плотность $\rho$, является постоянной величиной:

$\rho = const$

Это означает, что в изохорном процессе плотность идеального газа не зависит от температуры. Графиком такой зависимости в координатах $(\rho, T)$ является прямая линия, параллельная оси температур (оси абсцисс).

Ответ: При изохорном процессе плотность идеального газа постоянной массы не изменяется при изменении температуры, то есть является постоянной величиной. График зависимости $\rho(T)$ представляет собой прямую, параллельную оси температур.