Номер 174, страница 38 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

174. На рисунке 18 показаны две изохоры для одинакового идеального газа равной массы. Определите отношение объемов газов, если углы наклона изохор к оси температуры $\alpha_1$ и $\alpha_2$.

Рис. 18

Дано:
Идеальный газ
Масса газа в обоих случаях одинакова: $m_1 = m_2 = m$
Газ один и тот же, молярная масса одинакова: $M_1 = M_2 = M$
Процесс 1: изохорный, объем $V_1$
Процесс 2: изохорный, объем $V_2$
Угол наклона изохоры 1 к оси температур T: $\alpha_1$
Угол наклона изохоры 2 к оси температур T: $\alpha_2$

Найти:
$\frac{V_1}{V_2}$

Решение:
Состояние идеального газа описывается уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона):$pV = \frac{m}{M}RT$где $p$ – давление, $V$ – объем, $m$ – масса газа, $M$ – молярная масса газа, $R$ – универсальная газовая постоянная, $T$ – абсолютная температура.

На графике в координатах $(p, T)$ представлены два изохорных процесса, для которых объем газа постоянен ($V = \text{const}$). Выразим давление $p$ из уравнения состояния как функцию температуры $T$:$p = \left(\frac{mR}{MV}\right)T$

Это уравнение представляет собой линейную зависимость вида $y = kx$, где $y = p$, $x = T$, а угловой коэффициент (тангенс угла наклона) прямой равен $k = \frac{mR}{MV}$.

Из геометрического смысла тангенса угла наклона на графике, для любой точки $(T, p)$ на изохоре имеем:$\tan{\alpha} = \frac{p}{T}$

Сравнивая два выражения для тангенса угла наклона, получаем:$\tan{\alpha} = \frac{mR}{MV}$

Запишем это соотношение для каждого из двух процессов. Условия задачи гласят, что масса газа ($m$) и его молярная масса ($M$) одинаковы.

Для первого процесса с объемом $V_1$ и углом наклона $\alpha_1$:$\tan{\alpha_1} = \frac{mR}{MV_1}$

Для второго процесса с объемом $V_2$ и углом наклона $\alpha_2$:$\tan{\alpha_2} = \frac{mR}{MV_2}$

Из этих выражений можно найти объемы $V_1$ и $V_2$:$V_1 = \frac{mR}{M \tan{\alpha_1}}$$V_2 = \frac{mR}{M \tan{\alpha_2}}$

Теперь найдем искомое отношение объемов $\frac{V_1}{V_2}$:$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{mR}{M \tan{\alpha_1}}}{\frac{mR}{M \tan{\alpha_2}}} = \frac{mR}{M \tan{\alpha_1}} \cdot \frac{M \tan{\alpha_2}}{mR} = \frac{\tan{\alpha_2}}{\tan{\alpha_1}}$

Таким образом, отношение объемов обратно пропорционально отношению тангенсов углов наклона соответствующих изохор к оси температур.

Ответ: $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\tan{\alpha_2}}{\tan{\alpha_1}}$.