Номер 170, страница 37 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

170. На рисунке 14 приведены графики изменения состояния идеального газа в координатах $(p, T)$. Изобразите эти процессы в координатах $(p, V)$ и $(V, T)$.

а

б

в

Рис. 14

а)

Дано:

График процесса 1-2-3-4 для идеального газа в координатах давление-температура (p, T).

Найти:

Изобразить данный процесс в координатах (p, V) и (V, T).

Решение:

Для анализа будем использовать уравнение состояния идеального газа: $pV = \nu RT$. Обозначим параметры в точке 1 как $p_1=p_0$, $T_1=T_0$. Тогда объем в точке 1 равен $V_1 = \nu R T_0 / p_0 = V_0$.

Проанализируем каждый участок графика:

1. Участок 1-2: График представляет собой прямую, проходящую через начало координат (как показано пунктиром). Это означает, что давление прямо пропорционально температуре ($p \propto T$). Из уравнения состояния $p = (\nu R / V)T$ следует, что такой процесс является изохорным, то есть происходит при постоянном объеме. $V = const$. Следовательно, $V_2 = V_1 = V_0$. Из графика считываем, что $p_2 = 2p_0$ и $T_2 = 2T_0$.

2. Участок 2-3: График является вертикальной линией, что соответствует процессу при постоянной температуре $T = T_2 = 2T_0$. Это изотермический процесс. Давление падает от $p_2 = 2p_0$ до $p_3 = p_0$. По закону Бойля–Мариотта ($pV=const$), объем должен увеличиться: $p_2 V_2 = p_3 V_3 \Rightarrow (2p_0)V_0 = p_0 V_3 \Rightarrow V_3 = 2V_0$.

3. Участок 3-4: График является горизонтальной линией, что соответствует процессу при постоянном давлении $p = p_3 = p_0$. Это изобарный процесс. Температура растет от $T_3 = 2T_0$ до $T_4 = 4T_0$. По закону Гей-Люссака ($V/T=const$), объем должен увеличиться: $V_3/T_3 = V_4/T_4 \Rightarrow (2V_0)/(2T_0) = V_4/(4T_0) \Rightarrow V_4 = 4V_0$.

Параметры состояний:

Точка 1: ($p_0, T_0, V_0$)

Точка 2: ($2p_0, 2T_0, V_0$)

Точка 3: ($p_0, 2T_0, 2V_0$)

Точка 4: ($p_0, 4T_0, 4V_0$)

Построение графика в координатах (p, V): (Ось p - вертикальная, ось V - горизонтальная)

1-2: Изохорный процесс ($V=V_0$). График - вертикальный отрезок, идущий вверх из точки $(V_0, p_0)$ в точку $(V_0, 2p_0)$.

2-3: Изотермический процесс ($T=2T_0$). График - участок гиперболы $p \propto 1/V$, идущий из точки $(V_0, 2p_0)$ в точку $(2V_0, p_0)$.

3-4: Изобарный процесс ($p=p_0$). График - горизонтальный отрезок, идущий вправо из точки $(2V_0, p_0)$ в точку $(4V_0, p_0)$.

Построение графика в координатах (V, T): (Ось V - вертикальная, ось T - горизонтальная)

1-2: Изохорный процесс ($V=V_0$). График - горизонтальный отрезок, идущий вправо из точки $(T_0, V_0)$ в точку $(2T_0, V_0)$.

2-3: Изотермический процесс ($T=2T_0$). График - вертикальный отрезок, идущий вверх из точки $(2T_0, V_0)$ в точку $(2T_0, 2V_0)$.

3-4: Изобарный процесс ($p=p_0$). Объем прямо пропорционален температуре ($V \propto T$). График - отрезок прямой, проходящей через начало координат, идущий из точки $(2T_0, 2V_0)$ в точку $(4T_0, 4V_0)$.

Ответ:

График в координатах (p, V) представляет собой последовательность: изохорного нагревания (вертикальный отрезок вверх), изотермического расширения (участок гиперболы) и изобарного нагревания (горизонтальный отрезок вправо).

График в координатах (V, T) представляет собой последовательность: изохорного нагревания (горизонтальный отрезок вправо), изотермического расширения (вертикальный отрезок вверх) и изобарного нагревания (отрезок прямой, проходящей через начало координат).

б)

Дано:

График циклического процесса 1-2-3-4-1 для идеального газа в координатах (p, T).

Найти:

Изобразить данный процесс в координатах (p, V) и (V, T).

Решение:

Используем уравнение $pV = \nu RT$. Обозначим параметры в точке 1: $p_1=p_0, T_1=T_0, V_1=V_0$.

Проанализируем каждый участок графика:

1. Участок 1-2: Прямая линия, не проходящая через начало координат. $p=aT+b$, где $a>0, b>0$. Температура и давление растут. Из графика $T_2=3T_0, p_2=2p_0$. Объем $V = \nu RT/p$. $V_1 = V_0$, $V_2 = \nu R (3T_0)/(2p_0) = 1.5 (\nu R T_0/p_0) = 1.5 V_0$. Объем увеличивается.

2. Участок 2-3: Изотермический процесс, $T=const=3T_0$. Давление падает до $p_3=p_0$. Объем увеличивается: $p_2V_2=p_3V_3 \Rightarrow (2p_0)(1.5V_0)=p_0 V_3 \Rightarrow V_3=3V_0$.

3. Участок 4-1: Прямая, проходящая через начало координат, значит, это изохорный процесс, $V=const$. $V_4=V_1=V_0$.

4. Участок 3-4: Прямая линия, соединяющая состояния 3 ($p_3=p_0, T_3=3T_0, V_3=3V_0$) и 4 ($V_4=V_0$). На этом участке температура и давление уменьшаются. Так как объем уменьшается с $3V_0$ до $V_0$, это процесс сжатия.

Построение графика в координатах (p, V):

1-2: Давление и объем растут от $(V_0, p_0)$ до $(1.5V_0, 2p_0)$. Это не является ни одним из основных изопроцессов. График - кривая линия.

2-3: Изотермическое расширение от $(1.5V_0, 2p_0)$ до $(3V_0, p_0)$. График - участок гиперболы.

3-4: Сжатие от $(3V_0, p_0)$ до $(V_0, p_4)$, где $p_4 < p_0$. График - кривая линия.

4-1: Изохорное нагревание ($V=V_0$). Давление растет от $p_4$ до $p_0$. График - вертикальный отрезок, идущий вверх из точки $(V_0, p_4)$ в точку $(V_0, p_0)$.

Построение графика в координатах (V, T):

1-2: Температура и объем растут от $(T_0, V_0)$ до $(3T_0, 1.5V_0)$. График - кривая линия.

2-3: Изотермическое расширение ($T=3T_0$). Объем растет от $1.5V_0$ до $3V_0$. График - вертикальный отрезок, идущий вверх из точки $(3T_0, 1.5V_0)$ в точку $(3T_0, 3V_0)$.

3-4: Температура и объем уменьшаются от $(3T_0, 3V_0)$ до $(T_4, V_0)$, где $T_4 < T_0$. График - кривая линия.

4-1: Изохорное нагревание ($V=V_0$). Температура растет от $T_4$ до $T_0$. График - горизонтальный отрезок, идущий вправо из точки $(T_4, V_0)$ в точку $(T_0, V_0)$.

Ответ:

График в координатах (p, V) представляет собой замкнутый цикл, состоящий из двух кривых (1-2 и 3-4), участка гиперболы (2-3, изотерма) и вертикального отрезка (4-1, изохора).

График в координатах (V, T) представляет собой замкнутый цикл, состоящий из двух кривых (1-2 и 3-4), вертикального отрезка (2-3, изотерма) и горизонтального отрезка (4-1, изохора).

в)

Дано:

График циклического процесса 1-2-3-4-5-1 для идеального газа в координатах (p, T).

Найти:

Изобразить данный процесс в координатах (p, V) и (V, T).

Решение:

Используем уравнение $pV = \nu RT$. Обозначим параметры в точке 1: $p_1=p_0, T_1=T_0, V_1=V_0$.

Проанализируем каждый участок графика:

1. Участок 1-2-3: График - прямая, проходящая через начало координат ($p \propto T$). Это изохорный процесс, $V=const$. $V_1=V_2=V_3=V_0$. Из графика: $p_2=2p_0, T_2=2T_0$; $p_3=3p_0, T_3=3T_0$.

2. Участок 3-4: Изобарный процесс, $p=const=3p_0$. Температура растет от $T_3=3T_0$ до $T_4=5T_0$. Объем растет: $V_3/T_3 = V_4/T_4 \Rightarrow V_0/(3T_0) = V_4/(5T_0) \Rightarrow V_4 = (5/3)V_0$.

3. Участок 4-5: Изотермический процесс, $T=const=5T_0$. Давление падает от $p_4=3p_0$ до $p_5=p_0$. Объем растет: $p_4V_4=p_5V_5 \Rightarrow (3p_0)((5/3)V_0)=p_0 V_5 \Rightarrow V_5=5V_0$.

4. Участок 5-1: Изобарный процесс, $p=const=p_0$. Температура падает от $T_5=5T_0$ до $T_1=T_0$. Объем уменьшается: $V_5/T_5 = V_1/T_1 \Rightarrow (5V_0)/(5T_0) = V_0/T_0$, что верно.

Построение графика в координатах (p, V):

1-2-3: Изохорное нагревание ($V=V_0$). Давление растет от $p_0$ до $3p_0$. График - вертикальный отрезок, идущий вверх от $(V_0, p_0)$ до $(V_0, 3p_0)$.

3-4: Изобарное расширение ($p=3p_0$). Объем растет от $V_0$ до $(5/3)V_0$. График - горизонтальный отрезок вправо от $(V_0, 3p_0)$ до $((5/3)V_0, 3p_0)$.

4-5: Изотермическое расширение ($T=5T_0$). График - участок гиперболы от $((5/3)V_0, 3p_0)$ до $(5V_0, p_0)$.

5-1: Изобарное сжатие ($p=p_0$). Объем падает от $5V_0$ до $V_0$. График - горизонтальный отрезок влево от $(5V_0, p_0)$ до $(V_0, p_0)$.

Построение графика в координатах (V, T):

1-2-3: Изохорное нагревание ($V=V_0$). Температура растет от $T_0$ до $3T_0$. График - горизонтальный отрезок вправо от $(T_0, V_0)$ до $(3T_0, V_0)$.

3-4: Изобарное расширение ($p=3p_0$). $V \propto T$. График - отрезок прямой, проходящей через начало координат, от $(3T_0, V_0)$ до $(5T_0, (5/3)V_0)$.

4-5: Изотермическое расширение ($T=5T_0$). Объем растет от $(5/3)V_0$ до $5V_0$. График - вертикальный отрезок вверх от $(5T_0, (5/3)V_0)$ до $(5T_0, 5V_0)$.

5-1: Изобарное сжатие ($p=p_0$). $V \propto T$. График - отрезок прямой, проходящей через начало координат, от $(5T_0, 5V_0)$ до $(T_0, V_0)$.

Ответ:

График в координатах (p, V) представляет собой замкнутый цикл, состоящий из вертикального отрезка (изохора), двух горизонтальных отрезков (изобары) и участка гиперболы (изотерма).

График в координатах (V, T) представляет собой замкнутый цикл, состоящий из горизонтального отрезка (изохора), вертикального отрезка (изотерма) и двух отрезков прямых, проходящих через начало координат (изобары).