Номер 175, страница 39 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

175. На рисунке 19 показаны две изобары для одинакового идеального газа равной массы. Определите отношение давления газов, если углы наклона изобар к оси температуры $\alpha_1$ и $\alpha_2$.

Рис. 19

Дано:

Идеальный газ

$m_1 = m_2 = m$ (масса газа постоянна)

$M_1 = M_2 = M$ (газ одинаковый)

$p_1 = \text{const}$ (изобара 1)

$p_2 = \text{const}$ (изобара 2)

$\alpha_1$ - угол наклона изобары 1 к оси T

$\alpha_2$ - угол наклона изобары 2 к оси T

Найти:

Отношение давлений $\frac{p_1}{p_2}$

Решение:

Изобарный процесс для идеального газа описывается уравнением состояния Менделеева-Клапейрона:

$pV = \nu RT$

где $p$ – давление, $V$ – объем, $\nu$ – количество вещества, $R$ – универсальная газовая постоянная, $T$ – абсолютная температура.

По условию задачи, мы имеем дело с одинаковым газом равной массы, следовательно, количество вещества $\nu = \frac{m}{M}$ для обоих процессов одинаково.

Выразим объем $V$ из уравнения состояния, чтобы получить зависимость, показанную на графике $V(T)$:

$V = \left(\frac{\nu R}{p}\right)T$

Это уравнение вида $y = kx$, где $y=V$, $x=T$, а угловой коэффициент (наклон) прямой $k$ равен:

$k = \frac{\nu R}{p}$

Геометрически угловой коэффициент прямой на графике равен тангенсу угла наклона этой прямой к оси абсцисс (в данном случае к оси T).

Для первой изобары с давлением $p_1$ и углом наклона $\alpha_1$:

$k_1 = \tan(\alpha_1)$

Следовательно, $\tan(\alpha_1) = \frac{\nu R}{p_1}$.

Отсюда можем выразить давление $p_1$:

$p_1 = \frac{\nu R}{\tan(\alpha_1)}$

Для второй изобары с давлением $p_2$ и углом наклона $\alpha_2$:

$k_2 = \tan(\alpha_2)$

Следовательно, $\tan(\alpha_2) = \frac{\nu R}{p_2}$.

Отсюда можем выразить давление $p_2$:

$p_2 = \frac{\nu R}{\tan(\alpha_2)}$

Теперь найдем искомое отношение давлений $\frac{p_1}{p_2}$:

$\frac{p_1}{p_2} = \frac{\frac{\nu R}{\tan(\alpha_1)}}{\frac{\nu R}{\tan(\alpha_2)}}$

После сокращения одинаковых величин $\nu R$ получаем:

$\frac{p_1}{p_2} = \frac{\tan(\alpha_2)}{\tan(\alpha_1)}$

Ответ: $\frac{p_1}{p_2} = \frac{\tan(\alpha_2)}{\tan(\alpha_1)}$.