Номер 169, страница 37 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

169. На рисунке 13 приведены графики изменения состояния идеального газа в координатах $(V, T)$. Изобразите эти процессы в координатах $(p, V)$ и $(p, T)$.

a

б

в

Рис. 13

Для решения задачи воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона): $pV = \nu RT$, где $p$ – давление, $V$ – объем, $T$ – абсолютная температура, $\nu$ – количество вещества, $R$ – универсальная газовая постоянная. Из этого уравнения следуют законы для изопроцессов:

• Изотермический процесс ($T=const$): $pV = const$ (закон Бойля-Мариотта).
• Изобарный процесс ($p=const$): $V/T = const$ (закон Гей-Люссака).
• Изохорный процесс ($V=const$): $p/T = const$ (закон Шарля).

Будем считать, что одна клетка на графике по оси объемов соответствует значению $V_0$, а по оси температур – $T_0$. Тогда давление можно выразить в относительных единицах $p_0 = \frac{\nu R T_0}{V_0}$.

Проанализируем процессы, изображенные на рисунке а.

Состояния газа:

• Точка 1: $V_1 = 1V_0$, $T_1 = 2T_0$. Давление $p_1 = \frac{\nu R T_1}{V_1} = \frac{\nu R (2T_0)}{1V_0} = 2 p_0$.
• Точка 2: $V_2 = 2V_0$, $T_2 = 4T_0$. Давление $p_2 = \frac{\nu R T_2}{V_2} = \frac{\nu R (4T_0)}{2V_0} = 2 p_0$.
• Точка 3: $V_3 = 1V_0$, $T_3 = 4T_0$. Давление $p_3 = \frac{\nu R T_3}{V_3} = \frac{\nu R (4T_0)}{1V_0} = 4 p_0$.

Процессы:

• 1-2: График – прямая, проходящая через начало координат ($V/T = const$). Это изобарный процесс ($p = const$). Действительно, $p_1 = p_2 = 2p_0$. Происходит изобарное нагревание и расширение.
• 2-3: График – вертикальная прямая ($T = const$). Это изотермический процесс ($T = 4T_0$). Объем уменьшается, следовательно, давление растет.
• 3-1: График – горизонтальная прямая ($V = const$). Это изохорный процесс ($V = 1V_0$). Температура уменьшается, следовательно, давление падает.

Построение графиков:

В координатах ($p, V$):

• Точки: 1($V_0, 2p_0$), 2($2V_0, 2p_0$), 3($V_0, 4p_0$).
• Процесс 1-2: Изобара. Горизонтальный отрезок от точки 1 до точки 2.
• Процесс 2-3: Изотерма. Участок гиперболы $pV = const = 8p_0V_0$ от точки 2 до точки 3.
• Процесс 3-1: Изохора. Вертикальный отрезок от точки 3 до точки 1.

В координатах ($p, T$):

• Точки: 1($2T_0, 2p_0$), 2($4T_0, 2p_0$), 3($4T_0, 4p_0$).
• Процесс 1-2: Изобара. Горизонтальный отрезок от точки 1 до точки 2.
• Процесс 2-3: Изотерма. Вертикальный отрезок от точки 2 до точки 3.
• Процесс 3-1: Изохора. Отрезок прямой, проходящей через начало координат ($p/T = const = p_0/T_0$), от точки 3 до точки 1.

Ответ: График в координатах ($p, V$) представляет собой цикл, состоящий из изобары (горизонтальный отрезок), изотермы (гипербола) и изохоры (вертикальный отрезок). График в координатах ($p, T$) представляет собой прямоугольный треугольник, гипотенуза которого лежит на прямой, проходящей через начало координат.

Проанализируем процессы, изображенные на рисунке б.

Состояния газа:

• Точка 1: $V_1 = 1V_0$, $T_1 = 2T_0$. Давление $p_1 = \frac{\nu R (2T_0)}{1V_0} = 2 p_0$.
• Точка 2: $V_2 = 2V_0$, $T_2 = 3T_0$. Давление $p_2 = \frac{\nu R (3T_0)}{2V_0} = 1.5 p_0$.
• Точка 3: $V_3 = 2V_0$, $T_3 = 5T_0$. Давление $p_3 = \frac{\nu R (5T_0)}{2V_0} = 2.5 p_0$.
• Точка 4: $V_4 = 1V_0$, $T_4 = 4T_0$. Давление $p_4 = \frac{\nu R (4T_0)}{1V_0} = 4 p_0$.

Процессы:

• 1-2: Процесс, в котором $V = T - V_0$ (уравнение прямой $V = (T/T_0 - 1)V_0$). Давление изменяется по закону $p = \frac{\nu R T}{T - V_0/T_0 \cdot T_0}$.
• 2-3: Изохорный процесс ($V=2V_0$). Температура растет, давление растет.
• 3-4: Процесс, в котором $V = T - 3V_0$ (уравнение прямой $V = (T/T_0 - 3)V_0$).
• 4-1: Изохорный процесс ($V=1V_0$). Температура падает, давление падает.

Построение графиков:

В координатах ($p, V$):

• Точки: 1($V_0, 2p_0$), 2($2V_0, 1.5p_0$), 3($2V_0, 2.5p_0$), 4($V_0, 4p_0$).
• Процесс 1-2: Кривая, описываемая уравнением $p = \nu R \frac{V+V_0/T_0 \cdot T_0}{V} = p_0 (1 + V_0/V)$, от точки 1 до точки 2.
• Процесс 2-3: Изохора. Вертикальный отрезок от точки 2 до точки 3.
• Процесс 3-4: Кривая, описываемая уравнением $p = \nu R \frac{V+3V_0/T_0 \cdot T_0}{V} = p_0 (1 + 3V_0/V)$, от точки 3 до точки 4.
• Процесс 4-1: Изохора. Вертикальный отрезок от точки 4 до точки 1.

В координатах ($p, T$):

• Точки: 1($2T_0, 2p_0$), 2($3T_0, 1.5p_0$), 3($5T_0, 2.5p_0$), 4($4T_0, 4p_0$).
• Процесс 1-2: Кривая, описываемая уравнением $p = \frac{\nu R T}{T - V_0/T_0 \cdot T_0}$, от точки 1 до точки 2.
• Процесс 2-3: Изохора. Отрезок прямой, проходящей через начало координат ($p/T = const = 0.75 p_0/T_0$), от точки 2 до точки 3.
• Процесс 3-4: Кривая, описываемая уравнением $p = \frac{\nu R T}{T - 3V_0/T_0 \cdot T_0}$, от точки 3 до точки 4.
• Процесс 4-1: Изохора. Отрезок прямой, проходящей через начало координат ($p/T = const = p_0/T_0$), от точки 4 до точки 1.

Ответ: График в координатах ($p, V$) представляет собой замкнутый контур, образованный двумя вертикальными отрезками (изохоры) и двумя кривыми (участки гипербол). График в координатах ($p, T$) представляет собой замкнутый контур, образованный двумя отрезками прямых, проходящих через начало координат (изохоры), и двумя кривыми.

Проанализируем процессы, изображенные на рисунке в.

Состояния газа:

• Точка 1: $V_1 = 1V_0$, $T_1 = 2T_0$. Давление $p_1 = \frac{\nu R (2T_0)}{1V_0} = 2 p_0$.
• Точка 2: $V_2 = 2V_0$, $T_2 = 4T_0$. Давление $p_2 = \frac{\nu R (4T_0)}{2V_0} = 2 p_0$.
• Точка 3: $V_3 = 3V_0$, $T_3 = 4T_0$. Давление $p_3 = \frac{\nu R (4T_0)}{3V_0} = \frac{4}{3} p_0$.
• Точка 4: $V_4 = 3V_0$, $T_4 = 2T_0$. Давление $p_4 = \frac{\nu R (2T_0)}{3V_0} = \frac{2}{3} p_0$.

Процессы:

• 1-2: Изобарный процесс ($p = 2p_0$), так как график – прямая через начало координат.
• 2-3: Изотермический процесс ($T = 4T_0$). Объем растет, давление падает.
• 3-4: Изохорный процесс ($V = 3V_0$). Температура падает, давление падает.
• 4-1: Изотермический процесс ($T = 2T_0$). Объем падает, давление растет.

Построение графиков:

В координатах ($p, V$):

• Точки: 1($V_0, 2p_0$), 2($2V_0, 2p_0$), 3($3V_0, \frac{4}{3}p_0$), 4($3V_0, \frac{2}{3}p_0$).
• Процесс 1-2: Изобара. Горизонтальный отрезок от точки 1 до точки 2.
• Процесс 2-3: Изотерма. Участок гиперболы $pV = const = 8 p_0 V_0$ от точки 2 до точки 3.
• Процесс 3-4: Изохора. Вертикальный отрезок от точки 3 до точки 4.
• Процесс 4-1: Изотерма. Участок гиперболы $pV = const = 2 p_0 V_0$ от точки 4 до точки 1.

В координатах ($p, T$):

• Точки: 1($2T_0, 2p_0$), 2($4T_0, 2p_0$), 3($4T_0, \frac{4}{3}p_0$), 4($2T_0, \frac{2}{3}p_0$).
• Процесс 1-2: Изобара. Горизонтальный отрезок от точки 1 до точки 2.
• Процесс 2-3: Изотерма. Вертикальный отрезок от точки 2 до точки 3.
• Процесс 3-4: Изохора. Отрезок прямой, проходящей через начало координат ($p/T = const = \frac{1}{3} p_0/T_0$), от точки 3 до точки 4.
• Процесс 4-1: Изотерма. Вертикальный отрезок от точки 4 до точки 1.

Ответ: График в координатах ($p, V$) представляет собой замкнутый контур, состоящий из одного горизонтального отрезка (изобара), одного вертикального отрезка (изохора) и двух участков разных гипербол (изотермы). График в координатах ($p, T$) представляет собой четырехугольник, у которого две стороны вертикальные (изотермы), одна горизонтальная (изобара), а четвертая сторона – отрезок прямой, проходящей через начало координат (изохора).