Номер 289, страница 58 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

289. В цилиндре под подвижным поршнем находится влажный воздух при температуре $t_0 = 20 \text{ \degree C}$ и давлении $p_0 = 13 \text{ кПа}$. Относительная влажность воздуха $\varphi_0 = 70 \, \%$. Каким станет давление воздуха в цилиндре, если его объем при той же температуре уменьшить в $n = 10$ раз?

Дано:

$t_0 = 20 °C$

$p_0 = 13 \text{ кПа} = 13 \times 10^3 \text{ Па}$

$\phi_0 = 70 \% = 0.7$

$n = 10$

$V_k = V_0 / n$

$T = const$

Найти:

$p_k$ - ?

Решение:

Давление влажного воздуха $p_0$ по закону Дальтона равно сумме парциальных давлений сухого воздуха $p_{сух_0}$ и водяного пара $p_{пар_0}$:

$p_0 = p_{сух_0} + p_{пар_0}$

Относительная влажность воздуха $\phi_0$ определяется как отношение парциального давления водяного пара к давлению насыщенного пара $p_{нп}$ при той же температуре:

$\phi_0 = \frac{p_{пар_0}}{p_{нп}}$

По таблице находим давление насыщенного водяного пара при температуре $t_0 = 20 °C$. Оно составляет $p_{нп} \approx 2.33 \text{ кПа}$.

Из формулы для влажности найдем начальное парциальное давление водяного пара:

$p_{пар_0} = \phi_0 \cdot p_{нп} = 0.7 \cdot 2.33 \text{ кПа} = 1.631 \text{ кПа}$

Теперь можем найти начальное парциальное давление сухого воздуха:

$p_{сух_0} = p_0 - p_{пар_0} = 13 \text{ кПа} - 1.631 \text{ кПа} = 11.369 \text{ кПа}$

Процесс сжатия воздуха происходит при постоянной температуре (изотермический). При уменьшении объема в $n=10$ раз, конечный объем $V_k$ будет равен $V_0 / 10$.

Для сухого воздуха как для идеального газа в изотермическом процессе выполняется закон Бойля-Мариотта: $p_{сух_0}V_0 = p_{сух_k}V_k$.

Отсюда найдем конечное парциальное давление сухого воздуха:

$p_{сух_k} = p_{сух_0} \frac{V_0}{V_k} = p_{сух_0} \cdot n = 11.369 \text{ кПа} \cdot 10 = 113.69 \text{ кПа}$

Для водяного пара также происходит изотермическое сжатие. Однако его давление не может превысить давление насыщенного пара. Проверим, достигнет ли пар состояния насыщения. Если бы конденсации не происходило, его давление стало бы:

$p'_{пар_k} = p_{пар_0} \cdot n = 1.631 \text{ кПа} \cdot 10 = 16.31 \text{ кПа}$

Сравним это гипотетическое давление с давлением насыщенного пара при $20 °C$:

$p'_{пар_k} = 16.31 \text{ кПа} > p_{нп} = 2.33 \text{ кПа}$

Так как расчетное давление пара превышает давление насыщенного пара, часть пара сконденсируется (превратится в воду), а оставшийся пар будет насыщенным. Его парциальное давление в конечном состоянии будет равно давлению насыщенного пара:

$p_{пар_k} = p_{нп} = 2.33 \text{ кПа}$

Конечное давление воздуха в цилиндре будет равно сумме конечных парциальных давлений сухого воздуха и водяного пара:

$p_k = p_{сух_k} + p_{пар_k} = 113.69 \text{ кПа} + 2.33 \text{ кПа} = 116.02 \text{ кПа}$

Ответ: давление воздуха в цилиндре станет $116.02 \text{ кПа}$.