Номер 285, страница 57 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

285. В запаянной с одного конца горизонтальной трубке находится воздух, отделенный от атмосферы столбиком ртути длиной $l_0 = 10 \text{ см}$. Относительная влажность воздуха в трубке $\varphi_1 = 50 \, \%$. Определите, какой станет влажность воздуха в трубке, если трубку медленно повернуть и поставить вертикально открытым концом вверх. Атмосферное давление $p_0 = 101 \text{ кПа}$.

Дано:

$l_0 = 10 \text{ см}$

$\phi_1 = 50 \%$

$p_0 = 101 \text{ кПа}$

Перевод в систему СИ:

$l_0 = 0.1 \text{ м}$

$\phi_1 = 0.5$

$p_0 = 101 \cdot 10^3 \text{ Па}$

Найти:

$\phi_2$ - ?

Решение:

Воздух в трубке представляет собой смесь сухого воздуха и водяного пара. Процесс поворота трубки медленный, поэтому его можно считать изотермическим ($T = const$).

В начальном состоянии, когда трубка расположена горизонтально, давление влажного воздуха в ней равно атмосферному давлению:

$p_1 = p_0 = 101 \cdot 10^3 \text{ Па}$

По определению, относительная влажность воздуха $\phi_1$ связана с парциальным давлением водяного пара $p_{в1}$ и давлением насыщенного пара $p_{н}$ при данной температуре соотношением:

$\phi_1 = \frac{p_{в1}}{p_{н}}$

В конечном состоянии, когда трубка стоит вертикально открытым концом вверх, давление влажного воздуха $p_2$ в ней складывается из атмосферного давления $p_0$ и гидростатического давления столбика ртути $p_{рт}$:

$p_2 = p_0 + p_{рт}$

Давление столбика ртути высотой $l_0$ рассчитывается по формуле:

$p_{рт} = \rho \cdot g \cdot l_0$

где $\rho \approx 13600 \text{ кг/м}^3$ - плотность ртути, $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$ - ускорение свободного падения.

$p_{рт} = 13600 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 0.1 \text{ м} = 13328 \text{ Па}$

Тогда давление в конечном состоянии:

$p_2 = 101000 \text{ Па} + 13328 \text{ Па} = 114328 \text{ Па}$

Так как процесс изотермический, к влажному воздуху в трубке можно применить закон Бойля–Мариотта, считая количество вещества постоянным (предполагаем, что конденсации не происходит):

$p_1 V_1 = p_2 V_2$

где $V_1$ и $V_2$ – начальный и конечный объемы воздуха в трубке.

Отсюда находим соотношение объемов:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{p_2}{p_1}$

Закон Бойля–Мариотта также применим отдельно к каждому компоненту смеси – сухому воздуху и водяному пару (пока он не достиг насыщения). Для водяного пара:

$p_{в1} V_1 = p_{в2} V_2$

где $p_{в2}$ – парциальное давление водяного пара в конечном состоянии.

Выразим $p_{в2}$:

$p_{в2} = p_{в1} \frac{V_1}{V_2} = p_{в1} \frac{p_2}{p_1}$

Относительная влажность в конечном состоянии $\phi_2$ определяется как:

$\phi_2 = \frac{p_{в2}}{p_{н}}$

Подставим выражение для $p_{в2}$:

$\phi_2 = \frac{p_{в1} \frac{p_2}{p_1}}{p_{н}} = \left(\frac{p_{в1}}{p_{н}}\right) \cdot \frac{p_2}{p_1} = \phi_1 \frac{p_2}{p_1}$

Теперь можем рассчитать конечное значение влажности:

$\phi_2 = 0.5 \cdot \frac{114328 \text{ Па}}{101000 \text{ Па}} \approx 0.5 \cdot 1.132 \approx 0.566$

В процентах это составит $\phi_2 \approx 56.6 \%$.

Так как полученное значение влажности меньше $100\%$, наше предположение об отсутствии конденсации водяного пара было верным.

Ответ: $56.6 \%$.