Номер 290, страница 58 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

290. В сосуде при температуре $t = 100°C$ находился влажный воздух под давлением $p_0 = 100 \text{ кПа}$. После уменьшения объема воздуха в $\alpha = 4,0$ раза при постоянной температуре давление увеличилось в $\beta = 3,8$ раза. Определите относительную влажность воздуха в начальном состоянии. Объемом сконденсировавшейся воды пренебречь.

Дано:

$t = 100 °С$

$p_0 = 100$ кПа

$\alpha = V_0 / V_1 = 4,0$

$\beta = p_1 / p_0 = 3,8$

$T = t + 273,15 = 100 + 273,15 = 373,15$ К
$p_0 = 100 \cdot 10^3$ Па $= 10^5$ Па

Найти:

$\phi_0$

Решение:

Начальное давление влажного воздуха $p_0$ складывается из парциального давления сухого воздуха $p_{а0}$ и парциального давления водяного пара $p_{в0}$ (согласно закону Дальтона):

$p_0 = p_{а0} + p_{в0}$

Начальная относительная влажность воздуха $\phi_0$ определяется по формуле:

$\phi_0 = \frac{p_{в0}}{p_{нп}}$

где $p_{нп}$ – давление насыщенного водяного пара при температуре $t = 100 °С$. При этой температуре давление насыщенного пара равно нормальному атмосферному давлению, которое составляет приблизительно $100$ кПа.

$p_{нп}(100 °С) = 100$ кПа.

Процесс уменьшения объема происходит при постоянной температуре (изотермически). Для сухого воздуха, как для идеального газа, справедлив закон Бойля-Мариотта. Пусть начальный объем $V_0$, а конечный $V_1 = V_0 / \alpha$. Тогда конечное парциальное давление сухого воздуха $p_{а1}$ будет:

$p_{а0}V_0 = p_{а1}V_1 \implies p_{а1} = p_{а0} \frac{V_0}{V_1} = p_{а0} \alpha$

Если бы конденсации не происходило, то общее давление в конце процесса увеличилось бы в $\alpha = 4,0$ раза. Однако по условию, давление увеличилось в $\beta = 3,8$ раза. Так как $\beta < \alpha$, это означает, что часть водяного пара сконденсировалась, и в конечном состоянии пар стал насыщенным. Следовательно, конечное парциальное давление водяного пара равно давлению насыщенного пара: $p_{в1} = p_{нп}$.

Конечное давление $p_1$ в сосуде равно сумме парциальных давлений сухого воздуха и насыщенного пара:

$p_1 = p_{а1} + p_{в1} = p_{а0} \alpha + p_{нп}$

По условию, $p_1 = \beta p_0$. Приравняем два выражения для $p_1$:

$\beta p_0 = p_{а0} \alpha + p_{нп}$

Из закона Дальтона для начального состояния выразим $p_{а0} = p_0 - p_{в0}$ и подставим в полученное уравнение:

$\beta p_0 = (p_0 - p_{в0}) \alpha + p_{нп}$

Раскроем скобки и выразим начальное парциальное давление водяного пара $p_{в0}$:

$\beta p_0 = p_0 \alpha - p_{в0} \alpha + p_{нп}$

$p_{в0} \alpha = p_0 \alpha - \beta p_0 + p_{нп}$

$p_{в0} = \frac{p_0 (\alpha - \beta) + p_{нп}}{\alpha}$

Подставим числовые значения:

$p_{в0} = \frac{100 \text{ кПа} \cdot (4,0 - 3,8) + 100 \text{ кПа}}{4,0} = \frac{100 \cdot 0,2 + 100}{4,0} = \frac{20 + 100}{4,0} = \frac{120}{4,0} = 30$ кПа.

Теперь можем определить начальную относительную влажность:

$\phi_0 = \frac{p_{в0}}{p_{нп}} = \frac{30 \text{ кПа}}{100 \text{ кПа}} = 0,3$

Выражая в процентах, получаем:

$\phi_0 = 0,3 \cdot 100\% = 30\%$

Ответ: начальная относительная влажность воздуха составляла $30\%$.