Номер 297, страница 60 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

297. В вертикальном цилиндрическом сосуде площадью по-перечного сечения $S = 50 \text{ см}^2$ на высоте $h = 24 \text{ см}$ от основания сосуда расположен гладкий поршень массой $m = 1,0 \text{ кг}$. Под поршнем содержится идеальный одноатомный газ. Определите внутреннюю энергию этого газа, если атмосферное давление $p_0 = 98 \text{ кПа}$.

Дано:
Площадь поперечного сечения сосуда, $S = 50 \text{ см}^2$
Высота расположения поршня, $h = 24 \text{ см}$
Масса поршня, $m = 1,0 \text{ кг}$
Атмосферное давление, $p_0 = 98 \text{ кПа}$
Газ - идеальный, одноатомный.
Примем ускорение свободного падения $g = 9,8 \text{ м/с}^2$.

Перевод в систему СИ:
$S = 50 \text{ см}^2 = 50 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 50 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2$
$h = 24 \text{ см} = 0,24 \text{ м}$
$p_0 = 98 \text{ кПа} = 98 \cdot 10^3 \text{ Па}$

Найти:
Внутреннюю энергию газа, $U$.

Решение:
Внутренняя энергия $U$ идеального одноатомного газа определяется по формуле:
$U = \frac{3}{2} \nu R T$
где $\nu$ - количество вещества, $R$ - универсальная газовая постоянная, $T$ - абсолютная температура газа.
Согласно уравнению состояния идеального газа (уравнению Менделеева-Клапейрона) $pV = \nu RT$, где $p$ - давление газа, а $V$ - его объем. Подставив это в формулу для внутренней энергии, получим:
$U = \frac{3}{2} pV$
Для нахождения внутренней энергии необходимо определить давление $p$ и объем $V$ газа под поршнем.
Объем газа равен объему цилиндра высотой $h$ и площадью основания $S$:
$V = S \cdot h = 5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2 \cdot 0,24 \text{ м} = 1,2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$
Поршень находится в равновесии, следовательно, сила давления газа $pS$ уравновешивает силу атмосферного давления $p_0S$ и силу тяжести поршня $mg$, действующие на него сверху. Запишем условие равновесия поршня:
$pS = p_0S + mg$
Отсюда выразим давление газа $p$ под поршнем:
$p = p_0 + \frac{mg}{S}$
Подставим числовые значения:
$p = 98 \cdot 10^3 \text{ Па} + \frac{1,0 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2}{5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2} = 98000 \text{ Па} + 1960 \text{ Па} = 99960 \text{ Па}$
Теперь можем рассчитать внутреннюю энергию газа:
$U = \frac{3}{2} pV = \frac{3}{2} \cdot 99960 \text{ Па} \cdot 1,2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 179,928 \text{ Дж}$
Учитывая, что данные в условии задачи приведены с двумя значащими цифрами, округлим результат.
$U \approx 180 \text{ Дж}$

Ответ: внутренняя энергия этого газа составляет 180 Дж.