Номер 299, страница 60 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

299. Цилиндрический сосуд содержит идеальный одноатомный газ, закрытый невесомым легкоподвижным поршнем, площадь поперечного сечения которого $S = 120 \text{ см}^2$. Газу сообщили некоторое количество теплоты, и его внутренняя энергия увеличилась на $\Delta U = 0,36 \text{ кДж}$. Определите смещение поршня, если атмосферное давление $p_0 = 100 \text{ кПа}$.

Дано:

Газ - идеальный одноатомный

Поршень - невесомый, легкоподвижный

Площадь поперечного сечения, $S = 120 \text{ см}^2$

Увеличение внутренней энергии, $\Delta U = 0,36 \text{ кДж}$

Атмосферное давление, $p_0 = 100 \text{ кПа}$

Перевод в систему СИ:

$S = 120 \text{ см}^2 = 120 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 120 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 1,2 \cdot 10^{-2} \text{ м}^2$

$\Delta U = 0,36 \text{ кДж} = 0,36 \cdot 10^3 \text{ Дж} = 360 \text{ Дж}$

$p_0 = 100 \text{ кПа} = 100 \cdot 10^3 \text{ Па} = 10^5 \text{ Па}$

Найти:

Смещение поршня, $\Delta h$

Решение:

Так как поршень невесомый и легкоподвижный, он находится в равновесии, когда давление газа $p$ внутри сосуда равно внешнему атмосферному давлению $p_0$. При сообщении газу теплоты он расширяется, двигая поршень. Этот процесс происходит при постоянном давлении, то есть является изобарным.

$p = p_0 = \text{const}$

Работа $A$, совершаемая газом при изобарном расширении, определяется формулой:

$A = p \Delta V$

где $\Delta V$ – изменение объема газа. Для цилиндрического сосуда изменение объема связано со смещением поршня $\Delta h$ и площадью его поперечного сечения $S$ следующим образом:

$\Delta V = S \cdot \Delta h$

Тогда работа газа равна:

$A = p_0 S \Delta h$

Для идеального одноатомного газа изменение внутренней энергии $\Delta U$ и работа газа $A$ при изобарном процессе связаны соотношением:

$\Delta U = \frac{3}{2} p \Delta V = \frac{3}{2} A$

Данное соотношение следует из определения внутренней энергии для одноатомного идеального газа ($U = \frac{3}{2}\nu R T$) и уравнения Менделеева-Клапейрона ($p\Delta V = \nu R \Delta T$ для изобарного процесса).

Выразим работу газа $A$ через изменение его внутренней энергии $\Delta U$:

$A = \frac{2}{3} \Delta U$

Приравняем два полученных выражения для работы:

$p_0 S \Delta h = \frac{2}{3} \Delta U$

Из этого уравнения выразим искомое смещение поршня $\Delta h$:

$\Delta h = \frac{2 \Delta U}{3 p_0 S}$

Подставим числовые значения в системе СИ и произведем вычисления:

$\Delta h = \frac{2 \cdot 360 \text{ Дж}}{3 \cdot 10^5 \text{ Па} \cdot 1,2 \cdot 10^{-2} \text{ м}^2} = \frac{720}{3,6 \cdot 10^3} = \frac{720}{3600} = \frac{1}{5} = 0,2 \text{ м}$

Ответ: смещение поршня равно 0,2 м.