Номер 298, страница 60 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

298. В вертикальном цилиндрическом сосуде площадью поперечного сечения $S = 30 \text{ см}^2$ находится идеальный одноатомный газ массой $m_1 = 45 \text{ г}$, закрытый гладким поршнем массой $m_2 = 1,5 \text{ кг}$. Определите плотность газа, находящегося в сосуде, если его внутренняя энергия $U = 0,18 \text{ МДж}$. Атмосферное давление $p_0 = 99 \text{ кПа}$.

Дано:

$S = 30 \text{ см}^2 = 30 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 3 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2$

$m_1 = 45 \text{ г} = 45 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 0,045 \text{ кг}$

$m_2 = 1,5 \text{ кг}$

$U = 0,18 \text{ МДж} = 0,18 \cdot 10^6 \text{ Дж} = 1,8 \cdot 10^5 \text{ Дж}$

$p_0 = 99 \text{ кПа} = 99 \cdot 10^3 \text{ Па}$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

Найти:

$\rho$ — плотность газа.

Решение:

Плотность газа $\rho$ определяется как отношение его массы $m_1$ к объему $V$:

$\rho = \frac{m_1}{V}$ (1)

Масса газа дана в условии, следовательно, для нахождения плотности необходимо определить объем, занимаемый газом.

Поршень в сосуде находится в состоянии механического равновесия. Это означает, что сила давления газа $F_{газа}$, действующая на поршень снизу, уравновешивается суммой силы атмосферного давления $F_{атм}$ и силы тяжести поршня $F_{тяж}$, действующих сверху.

$F_{газа} = F_{атм} + F_{тяж}$

Расписывая силы через давление и площадь, получаем:

$pS = p_0S + m_2g$

где $p$ — давление газа в сосуде, $p_0$ — атмосферное давление, $S$ — площадь поперечного сечения сосуда (и поршня), $m_2$ — масса поршня, $g$ — ускорение свободного падения.

Из этого уравнения выразим давление газа $p$:

$p = p_0 + \frac{m_2g}{S}$ (2)

Внутренняя энергия $U$ идеального одноатомного газа связана с его давлением $p$ и объемом $V$ следующим соотношением:

$U = \frac{3}{2}pV$

Из этой формулы можно выразить объем газа $V$:

$V = \frac{2U}{3p}$ (3)

Теперь подставим выражение для объема (3) в формулу плотности (1):

$\rho = \frac{m_1}{V} = \frac{m_1}{\frac{2U}{3p}} = \frac{3m_1p}{2U}$

Используя выражение для давления (2), получим итоговую формулу для плотности:

$\rho = \frac{3m_1(p_0 + \frac{m_2g}{S})}{2U}$

Произведем вычисления. Сначала определим давление газа в сосуде:

$p = 99 \cdot 10^3 \text{ Па} + \frac{1,5 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2}{3 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2} = 99 \cdot 10^3 \text{ Па} + 5 \cdot 10^3 \text{ Па} = 104 \cdot 10^3 \text{ Па}$

Теперь рассчитаем плотность газа, подставив все известные значения в итоговую формулу:

$\rho = \frac{3 \cdot 0,045 \text{ кг} \cdot 104 \cdot 10^3 \text{ Па}}{2 \cdot 1,8 \cdot 10^5 \text{ Дж}} = \frac{0,135 \cdot 104 \cdot 10^3}{3,6 \cdot 10^5} = \frac{14040}{360000} = 0,039 \text{ кг/м}^3$

Ответ: плотность газа равна $0,039 \text{ кг/м}^3$.