Номер 306, страница 62 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

306. Идеальный одноатомный газ сжимают и одновременно нагревают. При этом объем газа уменьшается в $\alpha = 5,0$ раза, а давление повышается в $\beta = 7,0$ раза. Во сколько раз увеличивается внутренняя энергия газа?

Дано:

Газ – идеальный одноатомный
Уменьшение объема: $ \frac{V_1}{V_2} = \alpha = 5,0 $
Повышение давления: $ \frac{p_2}{p_1} = \beta = 7,0 $

Найти:

Отношение конечной внутренней энергии к начальной: $ \frac{U_2}{U_1} $

Решение:

Внутренняя энергия $U$ идеального одноатомного газа определяется формулой:

$ U = \frac{3}{2}\nu RT $

где $ \nu $ — количество вещества, $ R $ — универсальная газовая постоянная, $ T $ — абсолютная температура.

Согласно уравнению состояния идеального газа (уравнению Менделеева-Клапейрона):

$ pV = \nu RT $

где $ p $ — давление, $ V $ — объем.

Подставив $ \nu RT $ из уравнения состояния в формулу для внутренней энергии, получим выражение для внутренней энергии через давление и объем:

$ U = \frac{3}{2}pV $

Запишем выражения для начальной ($ U_1 $) и конечной ($ U_2 $) внутренней энергии газа:

$ U_1 = \frac{3}{2}p_1V_1 $
$ U_2 = \frac{3}{2}p_2V_2 $

Из условий задачи известно, что объем уменьшился в $ \alpha $ раз, а давление повысилось в $ \beta $ раз. Это можно записать как:

$ V_2 = \frac{V_1}{\alpha} $
$ p_2 = \beta p_1 $

Найдем отношение конечной внутренней энергии к начальной:

$ \frac{U_2}{U_1} = \frac{\frac{3}{2}p_2V_2}{\frac{3}{2}p_1V_1} = \frac{p_2V_2}{p_1V_1} $

Подставим выражения для $ p_2 $ и $ V_2 $:

$ \frac{U_2}{U_1} = \frac{(\beta p_1)(\frac{V_1}{\alpha})}{p_1V_1} = \frac{\beta}{\alpha} $

Теперь подставим числовые значения:

$ \frac{U_2}{U_1} = \frac{7,0}{5,0} = 1,4 $

Таким образом, внутренняя энергия газа увеличивается в 1,4 раза.

Ответ: внутренняя энергия газа увеличивается в 1,4 раза.