Номер 308, страница 62 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

308. Идеальный одноатомный газ нагрели от температуры $t_1 = 12°C$ до температуры $t_2 = 69°C$. На сколько процентов возросла его внутренняя энергия?

Дано:

$t_1 = 12 \text{ °C}$

$t_2 = 69 \text{ °C}$

Газ – идеальный одноатомный.

Перевод в систему СИ:

Для перевода температуры из градусов Цельсия в Кельвины используется формула $T = t + 273,15$. Для упрощения расчетов в школьном курсе физики часто используют значение 273.

$T_1 = t_1 + 273 = 12 + 273 = 285 \text{ К}$

$T_2 = t_2 + 273 = 69 + 273 = 342 \text{ К}$

Найти:

$\frac{\Delta U}{U_1} \times 100\% - ?$

Решение:

Внутренняя энергия $U$ идеального одноатомного газа зависит только от его абсолютной температуры $T$ и вычисляется по формуле:

$U = \frac{3}{2}\nu RT$

где $\nu$ — количество вещества газа, а $R$ — универсальная газовая постоянная.

Начальная внутренняя энергия газа при температуре $T_1$ равна:

$U_1 = \frac{3}{2}\nu RT_1$

Конечная внутренняя энергия газа при температуре $T_2$ равна:

$U_2 = \frac{3}{2}\nu RT_2$

Процентное изменение внутренней энергии можно найти как отношение абсолютного изменения энергии $\Delta U = U_2 - U_1$ к начальной энергии $U_1$, умноженное на 100%:

$\frac{\Delta U}{U_1} \times 100\% = \frac{U_2 - U_1}{U_1} \times 100\%$

Подставим в это выражение формулы для $U_1$ и $U_2$:

$\frac{\Delta U}{U_1} \times 100\% = \frac{\frac{3}{2}\nu RT_2 - \frac{3}{2}\nu RT_1}{\frac{3}{2}\nu RT_1} \times 100\%$

Вынесем общий множитель $\frac{3}{2}\nu R$ за скобки в числителе и сократим его с таким же множителем в знаменателе:

$\frac{\Delta U}{U_1} \times 100\% = \frac{\frac{3}{2}\nu R(T_2 - T_1)}{\frac{3}{2}\nu RT_1} \times 100\% = \frac{T_2 - T_1}{T_1} \times 100\%$

Теперь подставим числовые значения абсолютных температур:

$\frac{\Delta U}{U_1} \times 100\% = \frac{342 \text{ К} - 285 \text{ К}}{285 \text{ К}} \times 100\% = \frac{57}{285} \times 100\%$

Рассчитаем значение дроби:

$\frac{57}{285} = \frac{1}{5} = 0.2$

Умножим полученное значение на 100%, чтобы выразить результат в процентах:

$0.2 \times 100\% = 20\%$

Ответ: внутренняя энергия возросла на 20%.