Номер 314, страница 63 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

314. В сосуде, содержащем идеальный газ, образовалась трещина. За некоторое время давление газа уменьшилось в $\alpha = 8$ раз, а его абсолютная температура понизилась в $\beta = 2$ раза. Во сколько раз изменилась внутренняя энергия газа в сосуде?

Дано:

Отношение начального давления к конечному: $\frac{P_1}{P_2} = \alpha = 8$

Отношение начальной температуры к конечной: $\frac{T_1}{T_2} = \beta = 2$

Объем сосуда: $V = const$

Найти:

Отношение начальной внутренней энергии к конечной: $\frac{U_1}{U_2}$

Решение:

Внутренняя энергия идеального газа может быть выражена через его макроскопические параметры — давление $P$ и объем $V$. Формула для внутренней энергии:

$U = \frac{i}{2} \nu R T$

где $i$ — число степеней свободы молекул газа, $\nu$ — количество вещества, $R$ — универсальная газовая постоянная, $T$ — абсолютная температура.

Согласно уравнению состояния идеального газа (уравнению Менделеева-Клапейрона):

$PV = \nu R T$

Подставив $PV$ вместо $\nu R T$ в формулу для внутренней энергии, получим:

$U = \frac{i}{2} PV$

Запишем это выражение для начального (с индексом 1) и конечного (с индексом 2) состояний газа в сосуде. Объем сосуда $V$ и число степеней свободы $i$ (так как газ тот же) остаются неизменными.

Начальная внутренняя энергия:

$U_1 = \frac{i}{2} P_1 V$

Конечная внутренняя энергия:

$U_2 = \frac{i}{2} P_2 V$

Найдем, во сколько раз изменилась внутренняя энергия, для этого вычислим отношение $U_1$ к $U_2$:

$\frac{U_1}{U_2} = \frac{\frac{i}{2} P_1 V}{\frac{i}{2} P_2 V} = \frac{P_1}{P_2}$

По условию задачи давление газа уменьшилось в $\alpha = 8$ раз, что означает $\frac{P_1}{P_2} = \alpha$.

Таким образом, отношение внутренних энергий равно:

$\frac{U_1}{U_2} = \alpha = 8$

Это значит, что внутренняя энергия газа уменьшилась в 8 раз. Интересно отметить, что изменение температуры $\beta$ не влияет на итоговое отношение внутренних энергий, если использовать данную формулу. Это происходит потому, что изменение температуры уже учтено в изменении давления и количества вещества, вытекшего из сосуда.

Ответ: внутренняя энергия газа в сосуде уменьшилась в 8 раз.