Номер 319, страница 64 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

319. При переходе идеального одноатомного газа из начального состояния в конечное его давление $p$ изменялось по закону: $p = \alpha T^2$, где $\alpha$ — коэффициент пропорциональности, $T$ — абсолютная температура. В результате перехода внутренняя энергия газа уменьшилась на $|\Delta U| = 48$ Дж, а объем увеличился в $\beta = 5,0$ раза. Определите давление газа в начальном состоянии, если в этом состоянии объем газа $V_1 = 10$ л.

Дано:

Идеальный одноатомный газ

Закон процесса: $p = \alpha T^2$

Уменьшение внутренней энергии: $|\Delta U| = 48$ Дж

Увеличение объема: $\beta = \frac{V_2}{V_1} = 5,0$

Начальный объем: $V_1 = 10$ л

Перевод в систему СИ:

Так как внутренняя энергия уменьшилась, изменение энергии отрицательно: $\Delta U = -48$ Дж.

$V_1 = 10 \text{ л} = 10 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 0,01 \text{ м}^3$

Найти:

$p_1$ - давление газа в начальном состоянии.

Решение:

Внутренняя энергия идеального одноатомного газа определяется формулой:

$U = \frac{3}{2} \nu R T$, где $\nu$ - количество вещества, $R$ - универсальная газовая постоянная, $T$ - абсолютная температура.

Изменение внутренней энергии при переходе из начального состояния (1) в конечное (2) равно:

$\Delta U = U_2 - U_1 = \frac{3}{2} \nu R (T_2 - T_1)$

Воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона):

$pV = \nu R T$

Запишем его для начального и конечного состояний:

$p_1 V_1 = \nu R T_1$ (1)

$p_2 V_2 = \nu R T_2$ (2)

Разделив уравнение (2) на (1), получим соотношение между параметрами состояний:

$\frac{p_2 V_2}{p_1 V_1} = \frac{T_2}{T_1}$

По условию, давление газа изменялось по закону $p = \alpha T^2$. Для начального и конечного состояний:

$p_1 = \alpha T_1^2$

$p_2 = \alpha T_2^2$

Отсюда следует соотношение между давлениями и температурами:

$\frac{p_2}{p_1} = \frac{\alpha T_2^2}{\alpha T_1^2} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2$

Теперь у нас есть система из двух уравнений для соотношений параметров:

$\begin{cases} \frac{p_2 V_2}{p_1 V_1} = \frac{T_2}{T_1} \\ \frac{p_2}{p_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2 \end{cases}$

Подставим первое уравнение во второе:

$\frac{p_2}{p_1} = \left(\frac{p_2 V_2}{p_1 V_1}\right)^2 = \left(\frac{p_2}{p_1}\right)^2 \left(\frac{V_2}{V_1}\right)^2$

Сократив на $\frac{p_2}{p_1}$ (так как давление не равно нулю) и зная, что $\frac{V_2}{V_1} = \beta$, получим:

$1 = \frac{p_2}{p_1} \beta^2 \implies \frac{p_2}{p_1} = \frac{1}{\beta^2}$

Теперь найдем соотношение температур:

$\frac{T_2}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{p_1 V_1} = \frac{p_2}{p_1} \cdot \frac{V_2}{V_1} = \frac{1}{\beta^2} \cdot \beta = \frac{1}{\beta}$

Итак, $T_2 = \frac{T_1}{\beta}$.

Подставим это в формулу для изменения внутренней энергии:

$\Delta U = \frac{3}{2} \nu R (T_2 - T_1) = \frac{3}{2} \nu R \left(\frac{T_1}{\beta} - T_1\right) = \frac{3}{2} \nu R T_1 \left(\frac{1}{\beta} - 1\right)$

Из уравнения состояния для начального состояния мы знаем, что $\nu R T_1 = p_1 V_1$. Сделаем замену:

$\Delta U = \frac{3}{2} p_1 V_1 \left(\frac{1}{\beta} - 1\right)$

Выразим из этого уравнения начальное давление $p_1$:

$p_1 = \frac{2 \Delta U}{3 V_1 \left(\frac{1}{\beta} - 1\right)}$

Подставим числовые значения:

$p_1 = \frac{2 \cdot (-48 \text{ Дж})}{3 \cdot 0,01 \text{ м}^3 \cdot \left(\frac{1}{5} - 1\right)} = \frac{-96}{0,03 \cdot (0,2 - 1)} = \frac{-96}{0,03 \cdot (-0,8)} = \frac{-96}{-0,024} = 4000 \text{ Па}$

Ответ: $p_1 = 4000 \text{ Па} = 4 \text{ кПа}$.