Номер 316, страница 63 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

316. В вертикальном цилиндре под гладким поршнем находится идеальный одноатомный газ, занимающий объем $V_1 = 0,40 \text{ м}^3$. Определите изменение внутренней энергии газа при увеличении его абсолютной температуры в $\alpha = 1,2$ раза. Атмосферное давление $p_0 = 100 \text{ кПа}$, масса поршня $m_{\text{п}} = 5,0 \text{ кг}$. Площадь поперечного сечения цилиндра $S = 10 \text{ см}^2$.

Дано:

$V_1 = 0,40 \, \text{м}^3$

$\alpha = \frac{T_2}{T_1} = 1,2$

$p_0 = 100 \, \text{кПа} = 100 \cdot 10^3 \, \text{Па} = 10^5 \, \text{Па}$

$m_п = 5,0 \, \text{кг}$

$S = 10 \, \text{см}^2 = 10 \cdot 10^{-4} \, \text{м}^2 = 10^{-3} \, \text{м}^2$

Газ – идеальный, одноатомный ($i=3$)

Найти:

$\Delta U$

Решение:

Изменение внутренней энергии идеального одноатомного газа определяется по формуле:

$\Delta U = \frac{3}{2} \nu R \Delta T$, где $\nu$ – количество вещества газа, $R$ – универсальная газовая постоянная, $\Delta T$ – изменение абсолютной температуры.

Из условия задачи известно, что абсолютная температура увеличилась в $\alpha = 1,2$ раза, то есть $T_2 = \alpha T_1$. Тогда изменение температуры равно:

$\Delta T = T_2 - T_1 = \alpha T_1 - T_1 = T_1(\alpha - 1)$

Подставим это в формулу для изменения внутренней энергии:

$\Delta U = \frac{3}{2} \nu R T_1 (\alpha - 1)$

Воспользуемся уравнением состояния идеального газа для начального состояния (уравнение Менделеева-Клапейрона):

$p_1 V_1 = \nu R T_1$

Подставив это выражение в формулу для $\Delta U$, получим:

$\Delta U = \frac{3}{2} p_1 V_1 (\alpha - 1)$

Так как поршень гладкий и может свободно перемещаться, процесс нагревания газа будет изобарным (происходящим при постоянном давлении). Давление газа $p_1$ в цилиндре уравновешивает внешнее атмосферное давление $p_0$ и давление, создаваемое весом поршня. Запишем условие равновесия поршня:

$p_1 S = p_0 S + m_п g$

Отсюда найдем давление газа $p_1$ (примем $g \approx 10 \, \text{м/с}^2$):

$p_1 = p_0 + \frac{m_п g}{S}$

Вычислим значение давления:

$p_1 = 10^5 \, \text{Па} + \frac{5,0 \, \text{кг} \cdot 10 \, \text{м/с}^2}{10^{-3} \, \text{м}^2} = 10^5 \, \text{Па} + 50 \cdot 10^3 \, \text{Па} = 100 \cdot 10^3 \, \text{Па} + 50 \cdot 10^3 \, \text{Па} = 150 \cdot 10^3 \, \text{Па} = 1,5 \cdot 10^5 \, \text{Па}$

Теперь можем рассчитать изменение внутренней энергии:

$\Delta U = \frac{3}{2} \cdot (1,5 \cdot 10^5 \, \text{Па}) \cdot (0,40 \, \text{м}^3) \cdot (1,2 - 1) = \frac{3}{2} \cdot (1,5 \cdot 10^5) \cdot 0,4 \cdot 0,2$

$\Delta U = 1,5 \cdot (0,6 \cdot 10^5) \cdot 0,2 = 1,5 \cdot (0,12 \cdot 10^5) = 0,18 \cdot 10^5 \, \text{Дж} = 18000 \, \text{Дж} = 18 \, \text{кДж}$

Ответ: $18 \, \text{кДж}$.