Номер 317, страница 63 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

317. Идеальный одноатомный газ в количестве $\nu = 10,0$ моль

расширяется по закону: $\frac{p}{V} = \text{const}$, где $p$ — давление газа, $V$ — объем газа. При этом объем газа увеличивается

втрое, а его внутренняя энергия повышается на $\Delta U = 9,972 \times 10^4$ Дж. Определите начальную абсолютную температуру газа.

Дано:

$v = 10,0$ моль

Газ – идеальный одноатомный

Процесс расширения по закону: $\frac{p}{V} = const$

Увеличение объема: $\frac{V_2}{V_1} = 3$

Изменение внутренней энергии: $\Delta U = 9,972 \times 10^4$ Дж

Универсальная газовая постоянная: $R \approx 8,31$ Дж/(моль·К)

Найти:

$T_1$ – начальная абсолютная температура газа.

Решение:

Внутренняя энергия идеального одноатомного газа определяется формулой:

$U = \frac{3}{2} vRT$

где $v$ – количество вещества, $R$ – универсальная газовая постоянная, $T$ – абсолютная температура.

Изменение внутренней энергии при переходе из состояния 1 в состояние 2 равно:

$\Delta U = U_2 - U_1 = \frac{3}{2} vRT_2 - \frac{3}{2} vRT_1 = \frac{3}{2} vR(T_2 - T_1)$

Чтобы найти связь между начальной ($T_1$) и конечной ($T_2$) температурами, воспользуемся уравнением состояния идеального газа и законом процесса.

Уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона):

$pV = vRT$

Из этого уравнения выразим давление $p$:

$p = \frac{vRT}{V}$

По условию задачи, процесс происходит по закону $\frac{p}{V} = const$. Подставим в это выражение $p$ из уравнения состояния:

$\frac{vRT/V}{V} = const$

$\frac{vRT}{V^2} = const$

Поскольку $v$ и $R$ являются постоянными величинами, то для данного процесса выполняется соотношение:

$\frac{T}{V^2} = const$

Это означает, что для начального и конечного состояний газа справедливо равенство:

$\frac{T_1}{V_1^2} = \frac{T_2}{V_2^2}$

Из условия известно, что объем увеличивается втрое, то есть $V_2 = 3V_1$. Подставим это в полученное соотношение:

$\frac{T_1}{V_1^2} = \frac{T_2}{(3V_1)^2} = \frac{T_2}{9V_1^2}$

Отсюда находим связь между конечной и начальной температурами:

$T_2 = 9T_1$

Теперь подставим это выражение для $T_2$ в формулу для изменения внутренней энергии:

$\Delta U = \frac{3}{2} vR(9T_1 - T_1) = \frac{3}{2} vR(8T_1) = 12vRT_1$

Выразим из этой формулы начальную температуру $T_1$:

$T_1 = \frac{\Delta U}{12vR}$

Подставим числовые значения:

$T_1 = \frac{9,972 \times 10^4 \text{ Дж}}{12 \times 10,0 \text{ моль} \times 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}} = \frac{99720}{120 \times 8,31} = \frac{99720}{997,2} = 100 \text{ К}$

Ответ: начальная абсолютная температура газа равна 100 К.