Номер 320, страница 64 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

320. Идеальный одноатомный газ, количество вещества которого $\nu$, находился при абсолютной температуре $T_1$. Определите изменение внутренней энергии газа при увеличении его объема в $n$ раз, если изменение состояния газа происходит по закону: $\frac{p^2}{V} = \text{const}$, где $p$ — давление газа, $V$ — объем газа.

Дано:

Газ: идеальный одноатомный
Количество вещества: $v$
Начальная температура: $T_1$
Увеличение объема: $V_2 = nV_1$
Закон процесса: $\frac{p^2}{V} = \text{const}$

Найти:

Изменение внутренней энергии: $\Delta U$

Решение:

Внутренняя энергия идеального одноатомного газа определяется формулой: $U = \frac{3}{2}vRT$, где $v$ — количество вещества, $R$ — универсальная газовая постоянная, $T$ — абсолютная температура.

Изменение внутренней энергии $\Delta U$ при переходе из начального состояния 1 в конечное состояние 2 равно разности их внутренних энергий: $\Delta U = U_2 - U_1 = \frac{3}{2}vRT_2 - \frac{3}{2}vRT_1 = \frac{3}{2}vR(T_2 - T_1)$.

Для нахождения $\Delta U$ необходимо выразить конечную температуру $T_2$ через начальные параметры. Для этого воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона) и законом процесса.

Уравнение состояния для начального и конечного состояний:
1) $p_1V_1 = vRT_1$
2) $p_2V_2 = vRT_2$

Закон процесса, связывающий параметры начального и конечного состояний: $\frac{p_1^2}{V_1} = \frac{p_2^2}{V_2}$.

Из закона процесса выразим давление в конечном состоянии $p_2$: $p_2^2 = p_1^2 \frac{V_2}{V_1}$.

По условию задачи, объем газа увеличивается в $n$ раз, то есть $V_2 = nV_1$. Подставим это соотношение в выражение для $p_2^2$: $p_2^2 = p_1^2 \frac{nV_1}{V_1} = np_1^2$.

Отсюда находим связь между давлениями: $p_2 = p_1\sqrt{n}$.

Теперь найдем конечную температуру $T_2$ из уравнения состояния для конечного состояния: $T_2 = \frac{p_2V_2}{vR}$. Подставим в него найденное выражение для $p_2$ и данное условие для $V_2$: $T_2 = \frac{(p_1\sqrt{n})(nV_1)}{vR} = \frac{p_1V_1}{vR} \cdot n\sqrt{n}$.

Из уравнения состояния для начального состояния мы знаем, что $\frac{p_1V_1}{vR} = T_1$. Таким образом, получаем связь между температурами: $T_2 = T_1 n\sqrt{n} = T_1 n^{3/2}$.

Наконец, подставим найденное выражение для $T_2$ в формулу для изменения внутренней энергии: $\Delta U = \frac{3}{2}vR(T_1 n^{3/2} - T_1) = \frac{3}{2}vRT_1(n^{3/2} - 1)$.

Ответ: $\Delta U = \frac{3}{2}vRT_1(n^{3/2} - 1)$.