Номер 318, страница 64 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

318. Изменение состояния идеального одноатомного газа, количество вещества которого $\nu = 1,0$ моль, происходит по закону: $pV^2 = \text{const}$, где $p$ — давление газа, $V$ — объем газа. Определите изменение внутренней энергии газа при увеличении его объема в $\alpha = 2,0$ раза. Начальная температура газа $T_0 = 300 \text{ К}$.

Дано:

Идеальный одноатомный газ
Количество вещества, $ν = 1,0$ моль
Процесс: $pV^2 = \text{const}$
Увеличение объема, $α = \frac{V_k}{V_н} = 2,0$
Начальная температура, $T_0 = 300$ К
Универсальная газовая постоянная, $R \approx 8,31$ Дж/(моль·К)

Найти:

Изменение внутренней энергии, $ΔU$

Решение:

Изменение внутренней энергии идеального одноатомного газа вычисляется по формуле:

$ΔU = \frac{3}{2}νRΔT = \frac{3}{2}νR(T - T_0)$

где $ν$ — количество вещества, $R$ — универсальная газовая постоянная, $T_0$ — начальная температура, а $T$ — конечная температура газа. Чтобы найти $ΔU$, нам необходимо сначала определить конечную температуру $T$.

Для этого воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона) $pV = νRT$. Из него можно выразить давление $p = \frac{νRT}{V}$.

Процесс, в котором участвует газ, описывается законом $pV^2 = \text{const}$. Это означает, что для начального (индекс 0) и конечного состояний газа выполняется равенство:

$p_0V_0^2 = pV^2$

Подставим в это уравнение выражения для давлений $p_0 = \frac{νRT_0}{V_0}$ и $p = \frac{νRT}{V}$:

$\frac{νRT_0}{V_0}V_0^2 = \frac{νRT}{V}V^2$

Упростим выражение, сократив объемы:

$νRT_0V_0 = νRTV$

Сократим одинаковые множители $νR$ в обеих частях уравнения:

$T_0V_0 = TV$

Отсюда можно выразить конечную температуру $T$:

$T = T_0 \frac{V_0}{V}$

По условию задачи, объем газа увеличился в $α = 2,0$ раза, то есть $V = αV_0$. Подставим это соотношение в формулу для конечной температуры:

$T = T_0 \frac{V_0}{αV_0} = \frac{T_0}{α}$

Теперь рассчитаем значение конечной температуры:

$T = \frac{300 \text{ К}}{2,0} = 150 \text{ К}$

Теперь, зная начальную и конечную температуры, мы можем рассчитать изменение внутренней энергии газа:

$ΔU = \frac{3}{2}νR(T - T_0)$

Подставим числовые значения:

$ΔU = \frac{3}{2} \cdot 1,0 \text{ моль} \cdot 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot (150 \text{ К} - 300 \text{ К})$

$ΔU = 1,5 \cdot 8,31 \cdot (-150) \text{ Дж}$

$ΔU = -1869,75 \text{ Дж}$

Округляя до трех значащих цифр, получаем:

$ΔU \approx -1870 \text{ Дж}$

Отрицательное значение означает, что внутренняя энергия газа уменьшилась, так как газ охладился в ходе данного процесса.

Ответ: $ΔU \approx -1870$ Дж.