Номер 315, страница 63 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

315. Шар вместимостью $V = 70 \text{ см}^3$ наполнен гелием под давлением $p = 1,0 \cdot 10^5 \text{ Па}$. В результате солнечного нагрева температура газа в шаре поднялась от $t_1 = 10^\circ \text{С}$ до $t_2 = 25^\circ \text{С}$. На сколько увеличилась внутренняя энергия газа? Объем шара не изменился.

Дано:

$V = 70 \text{ см}^3$

$p_1 = 1,0 \cdot 10^5 \text{ Па}$

$t_1 = 10^{\circ}\text{C}$

$t_2 = 25^{\circ}\text{C}$

Газ - гелий (He)

$V = \text{const}$

Перевод в систему СИ:

$V = 70 \text{ см}^3 = 70 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = 7 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3$

$T_1 = t_1 + 273 = 10 + 273 = 283 \text{ К}$

$T_2 = t_2 + 273 = 25 + 273 = 298 \text{ К}$

Найти:

$\Delta U$

Решение:

Изменение внутренней энергии идеального газа вычисляется по формуле:

$\Delta U = \frac{i}{2} \nu R \Delta T$

где $i$ — число степеней свободы молекул газа, $\nu$ — количество вещества, $R$ — универсальная газовая постоянная ($R \approx 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}$), а $\Delta T$ — изменение абсолютной температуры.

Гелий (He) — это одноатомный газ, поэтому число степеней свободы $i=3$. Формула принимает вид:

$\Delta U = \frac{3}{2} \nu R \Delta T$

Поскольку объем шара не изменяется, процесс нагрева является изохорным ($V = \text{const}$). Количество вещества $\nu$ можно определить из уравнения состояния идеального газа (уравнения Менделеева-Клапейрона) для начального состояния:

$p_1 V = \nu R T_1$

Из этого уравнения можно выразить произведение $\nu R$:

$\nu R = \frac{p_1 V}{T_1}$

Теперь подставим это выражение в формулу для изменения внутренней энергии:

$\Delta U = \frac{3}{2} \left( \frac{p_1 V}{T_1} \right) \Delta T = \frac{3}{2} \frac{p_1 V}{T_1} (T_2 - T_1)$

Вычислим изменение температуры:

$\Delta T = T_2 - T_1 = 298 \text{ К} - 283 \text{ К} = 15 \text{ К}$

Подставим все известные значения в формулу:

$\Delta U = \frac{3}{2} \cdot \frac{1,0 \cdot 10^5 \text{ Па} \cdot 7 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3}{283 \text{ К}} \cdot 15 \text{ К}$

$\Delta U = \frac{3}{2} \cdot \frac{7}{283} \cdot 15 \text{ Дж} = \frac{315}{566} \text{ Дж} \approx 0,5565 \text{ Дж}$

Округляя результат до двух значащих цифр (в соответствии с данными задачи), получаем:

$\Delta U \approx 0,56 \text{ Дж}$

Ответ: внутренняя энергия газа увеличилась на $0,56 \text{ Дж}$.