Номер 312, страница 62 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

312. На рисунке 33 показаны графики зависимости внутренней энергии двух идеальных одноатомных газов от абсолютной температуры. Определите количество вещества первого газа, если количество вещества второго газа $\nu_{II} = 2$ моль.

Рис. 33

Дано:

Газы I и II - идеальные, одноатомные

Количество вещества второго газа, $\nu_{II} = 2$ моль

Найти:

Количество вещества первого газа, $\nu_I$ - ?

Решение:

Внутренняя энергия $U$ идеального одноатомного газа вычисляется по формуле:

$U = \frac{3}{2} \nu R T$

где $\nu$ — количество вещества, $R$ — универсальная газовая постоянная, а $T$ — абсолютная температура. Из формулы следует, что внутренняя энергия прямо пропорциональна температуре, что и соответствует линейным графикам на рисунке.

Запишем это соотношение для каждого из двух газов:

$U_I = \frac{3}{2} \nu_I R T$

$U_{II} = \frac{3}{2} \nu_{II} R T$

Для нахождения соотношения между количествами вещества $\nu_I$ и $\nu_{II}$ выберем на графике общую для обоих процессов точку по оси температур, например, $T = 2T_0$.

По графику определим соответствующие значения внутренней энергии для каждого газа при этой температуре:

Для газа I (график I) при $T = 2T_0$ внутренняя энергия $U_I = 3U_0$.

Для газа II (график II) при $T = 2T_0$ внутренняя энергия $U_{II} = U_0$.

Теперь подставим эти пары значений $(T, U)$ в соответствующие формулы:

$3U_0 = \frac{3}{2} \nu_I R (2T_0) \quad (1)$

$U_0 = \frac{3}{2} \nu_{II} R (2T_0) \quad (2)$

Разделим уравнение (1) на уравнение (2):

$\frac{3U_0}{U_0} = \frac{\frac{3}{2} \nu_I R (2T_0)}{\frac{3}{2} \nu_{II} R (2T_0)}$

Сократив одинаковые множители ($U_0$, $\frac{3}{2}$, $R$ и $2T_0$), получим:

$3 = \frac{\nu_I}{\nu_{II}}$

Из этого соотношения выразим искомое количество вещества первого газа $\nu_I$:

$\nu_I = 3 \cdot \nu_{II}$

Подставим заданное в условии значение $\nu_{II} = 2$ моль:

$\nu_I = 3 \cdot 2 \text{ моль} = 6 \text{ моль}$

Ответ: количество вещества первого газа составляет 6 моль.