Номер 307, страница 62 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

307. При уменьшении объема идеального одноатомного газа в $\alpha = 3,0$ раза давление газа увеличилось на $\beta = 20 \%$. Во сколько раз изменилась внутренняя энергия газа?

Дано:

Газ - идеальный, одноатомный

Уменьшение объема в $ \alpha = 3,0 $ раза, т.е. $ V_2 = \frac{V_1}{3,0} $.

Увеличение давления на $ \beta = 20 \% $, т.е. $ P_2 = P_1 + 0,2 P_1 = 1,2 P_1 $.

Найти:

Во сколько раз изменилась внутренняя энергия газа, т.е. найти отношение $ \frac{U_2}{U_1} $.

Решение:

Внутренняя энергия идеального одноатомного газа определяется формулой:

$ U = \frac{3}{2} \nu R T $

где $ \nu $ — количество вещества, $ R $ — универсальная газовая постоянная, $ T $ — абсолютная температура.

Используя уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) $ PV = \nu R T $, можно выразить внутреннюю энергию через давление $ P $ и объем $ V $:

$ U = \frac{3}{2} PV $

Запишем это соотношение для начального (с индексом 1) и конечного (с индексом 2) состояний газа:

$ U_1 = \frac{3}{2} P_1 V_1 $

$ U_2 = \frac{3}{2} P_2 V_2 $

Найдем, во сколько раз изменилась внутренняя энергия, вычислив отношение $ \frac{U_2}{U_1} $:

$ \frac{U_2}{U_1} = \frac{\frac{3}{2} P_2 V_2}{\frac{3}{2} P_1 V_1} = \frac{P_2 V_2}{P_1 V_1} $

Подставим в это выражение известные из условия соотношения для давления и объема:

$ \frac{U_2}{U_1} = \frac{(1,2 P_1) \cdot (\frac{V_1}{3,0})}{P_1 V_1} $

Сократив $ P_1 $ и $ V_1 $, получим:

$ \frac{U_2}{U_1} = \frac{1,2}{3,0} = 0,4 $

Отношение $ \frac{U_2}{U_1} = 0,4 $ показывает, что конечная внутренняя энергия составляет 0,4 от начальной. Так как это число меньше 1, энергия уменьшилась. Чтобы узнать, во сколько раз она уменьшилась, найдем обратное отношение:

$ \frac{U_1}{U_2} = \frac{1}{0,4} = 2,5 $

Ответ: внутренняя энергия газа уменьшилась в 2,5 раза.