Номер 279, страница 56 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

279. В баллоне объемом $V = 5,0 \text{ л}$ находился воздух относительной влажностью $\varphi_1 = 50 \%$ при температуре $t_1 = 27 \text{ °C}$. В баллон добавили воду, количество вещества которой $v = 0,11 \text{ моль}$, а температуру повысили до $t_2 = 100 \text{ °C}$. Определите установившуюся относительную влажность воздуха в баллоне.

Дано:

$V = 5,0 \text{ л} = 5,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$

$\phi_1 = 50 \% = 0,5$

$t_1 = 27 \text{ °C}, \quad T_1 = 27 + 273 = 300 \text{ К}$

$\nu_{доб} = 0,11 \text{ моль}$

$t_2 = 100 \text{ °C}, \quad T_2 = 100 + 273 = 373 \text{ К}$

Найти:

$\phi_2 - ?$

Решение:

1. Найдем начальное количество вещества водяного пара в баллоне. Относительная влажность определяется формулой:

$\phi_1 = \frac{p_1}{p_{н1}}$, где $p_1$ – парциальное давление водяного пара, а $p_{н1}$ – давление насыщенного пара при температуре $T_1$.

Из уравнения Менделеева-Клапейрона для водяного пара $p_1 V = \nu_1 R T_1$, где $\nu_1$ – начальное количество вещества пара.

Отсюда $\nu_1 = \frac{p_1 V}{R T_1} = \frac{\phi_1 p_{н1} V}{R T_1}$.

Давление насыщенного пара при температуре $t_1 = 27 \text{ °C}$ ($T_1 = 300 \text{ К}$) составляет $p_{н1} \approx 3,57 \cdot 10^3 \text{ Па}$.

Подставим значения:

$\nu_1 = \frac{0,5 \cdot 3,57 \cdot 10^3 \text{ Па} \cdot 5,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3}{8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 300 \text{ К}} \approx 0,0036 \text{ моль}$.

2. Определим общее количество вещества воды в баллоне после добавления:

$\nu_{общ} = \nu_1 + \nu_{доб} = 0,0036 \text{ моль} + 0,11 \text{ моль} = 0,1136 \text{ моль}$.

3. Теперь определим, сможет ли вся эта вода испариться при конечной температуре $t_2 = 100 \text{ °C}$ ($T_2 = 373 \text{ К}$). Для этого найдем максимальное количество вещества водяного пара, которое может находиться в объеме $V$ при температуре $T_2$. Это количество соответствует насыщенному пару.

Давление насыщенного пара при $t_2 = 100 \text{ °C}$ равно нормальному атмосферному давлению: $p_{н2} = 1,013 \cdot 10^5 \text{ Па}$.

Из уравнения Менделеева-Клапейрона для насыщенного пара:

$p_{н2} V = \nu_{макс} R T_2 \implies \nu_{макс} = \frac{p_{н2} V}{R T_2}$.

$\nu_{макс} = \frac{1,013 \cdot 10^5 \text{ Па} \cdot 5,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3}{8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 373 \text{ К}} \approx 0,163 \text{ моль}$.

4. Сравним общее количество вещества воды с максимально возможным количеством пара:

$\nu_{общ} = 0,1136 \text{ моль}$

$\nu_{макс} = 0,163 \text{ моль}$

Так как $\nu_{общ} < \nu_{макс}$, вся вода в баллоне испарится, и образовавшийся пар будет ненасыщенным.

5. Найдем установившуюся относительную влажность $\phi_2$.

Количество вещества пара в конечном состоянии $\nu_2 = \nu_{общ}$. Парциальное давление пара $p_2$ найдем из уравнения Менделеева-Клапейрона:

$p_2 = \frac{\nu_2 R T_2}{V} = \frac{\nu_{общ} R T_2}{V}$.

Относительная влажность равна:

$\phi_2 = \frac{p_2}{p_{н2}} = \frac{\nu_{общ} R T_2 / V}{p_{н2}}$.

Учитывая, что $p_{н2} = \nu_{макс} R T_2 / V$, получаем более простую формулу:

$\phi_2 = \frac{\nu_{общ}}{\nu_{макс}}$.

$\phi_2 = \frac{0,1136 \text{ моль}}{0,163 \text{ моль}} \approx 0,697$.

Выразим в процентах и округлим до двух значащих цифр, как в исходных данных:

$\phi_2 \approx 70 \%$.

Ответ: установившаяся относительная влажность воздуха в баллоне составит примерно $70\%$.