Номер 280, страница 56 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

280. В одной комнате объемом $V_1 = 20 \text{ м}^3$ относительная влажность воздуха $\varphi_1 = 40 \, \%$, в другой комнате объемом $V_2 = 30 \text{ м}^3$ относительная влажность воздуха $\varphi_2 = 50 \, \%$. Определите, какая относительная влажность воздуха установится в комнатах, если открыть смежную дверь. Температура воздуха в комнатах одинаковая.

Дано:

$V_1 = 20 \text{ м}^3$

$\varphi_1 = 40 \%$

$V_2 = 30 \text{ м}^3$

$\varphi_2 = 50 \%$

$T = \text{const}$

$V_1 = 20 \text{ м}^3$
$\varphi_1 = 0.4$
$V_2 = 30 \text{ м}^3$
$\varphi_2 = 0.5$

Найти:

$\varphi$ - ?

Решение:

Относительная влажность воздуха $\varphi$ определяется как отношение парциального давления водяного пара $p$ к давлению насыщенного пара $p_н$ при данной температуре, выраженное в процентах: $\varphi = \frac{p}{p_н} \cdot 100\%$.

Так как температура в комнатах одинакова и не меняется, давление (и плотность) насыщенного пара $p_н$ также является постоянной величиной.

Относительную влажность можно также выразить через плотность водяного пара (абсолютную влажность) $\rho$ и плотность насыщенного пара $\rho_н$: $\varphi = \frac{\rho}{\rho_н} \cdot 100\%$. Отсюда абсолютная влажность: $\rho = \frac{\varphi \cdot \rho_н}{100\%}$.

Масса водяного пара в первой комнате до открытия двери:

$m_1 = \rho_1 \cdot V_1 = \frac{\varphi_1 \cdot \rho_н}{100\%} \cdot V_1$

Масса водяного пара во второй комнате до открытия двери:

$m_2 = \rho_2 \cdot V_2 = \frac{\varphi_2 \cdot \rho_н}{100\%} \cdot V_2$

После открытия двери воздух в комнатах смешивается. Общая масса водяного пара становится равной сумме масс пара в каждой комнате, а общий объем — сумме объемов комнат.

Общая масса пара: $m = m_1 + m_2 = \frac{\rho_н}{100\%} (\varphi_1 V_1 + \varphi_2 V_2)$

Общий объем: $V = V_1 + V_2$

Новая абсолютная влажность (плотность пара) в смешанном воздухе:

$\rho_{уст} = \frac{m}{V} = \frac{\frac{\rho_н}{100\%} (\varphi_1 V_1 + \varphi_2 V_2)}{V_1 + V_2}$

Установившаяся относительная влажность $\varphi$ будет равна:

$\varphi = \frac{\rho_{уст}}{\rho_н} \cdot 100\% = \frac{\frac{\rho_н}{100\%} (\varphi_1 V_1 + \varphi_2 V_2)}{(V_1 + V_2) \cdot \rho_н} \cdot 100\%$

Сократив $\rho_н$ и $100\%$, получаем конечную формулу:

$\varphi = \frac{\varphi_1 V_1 + \varphi_2 V_2}{V_1 + V_2}$

Подставим числовые значения:

$\varphi = \frac{40 \cdot 20 + 50 \cdot 30}{20 + 30} = \frac{800 + 1500}{50} = \frac{2300}{50} = 46 \%$

Ответ: установившаяся относительная влажность воздуха в комнатах составит 46 %.