Номер 282, страница 57 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

282. Воздух в комнате объемом $V = 50 \text{ м}^3$ имеет температуру $t = 27 \text{ °C}$ и относительную влажность $\varphi_1 = 30 \, \%$. Сколько времени должен работать увлажнитель воздуха, распыляющий воду с производительностью $\alpha = 2,0 \frac{\text{кг}}{\text{ч}}$, чтобы относительная влажность в комнате повысилась до $\varphi_2 = 70 \, \%$?

Дано:

$V = 50 \text{ м}^3$

$t = 27 \text{ °C}$

$\varphi_1 = 30 \% = 0.30$

$\varphi_2 = 70 \% = 0.70$

$\alpha = 2.0 \frac{\text{кг}}{\text{ч}}$

В системе СИ:
$\alpha = 2.0 \frac{\text{кг}}{3600 \text{ с}} \approx 5.56 \times 10^{-4} \frac{\text{кг}}{\text{с}}$

Найти:

$\Delta \tau$

Решение:

Относительная влажность воздуха $\varphi$ определяется как отношение абсолютной влажности (плотности водяного пара в воздухе) $\rho$ к плотности насыщенного водяного пара $\rho_{нп}$ при той же температуре, выраженное в процентах:

$\varphi = \frac{\rho}{\rho_{нп}}$

Масса водяного пара $m$ в комнате объемом $V$ связана с абсолютной влажностью соотношением $m = \rho V$.

Таким образом, начальная масса водяного пара в комнате была:

$m_1 = \rho_1 V = \varphi_1 \rho_{нп} V$

Чтобы влажность повысилась до значения $\varphi_2$, масса водяного пара в комнате должна стать:

$m_2 = \rho_2 V = \varphi_2 \rho_{нп} V$

Масса воды $\Delta m$, которую должен распылить увлажнитель, равна разности конечной и начальной масс водяного пара:

$\Delta m = m_2 - m_1 = (\varphi_2 - \varphi_1) \rho_{нп} V$

Температура в комнате постоянна и равна $t = 27 \text{ °C}$. По таблице плотности насыщенного водяного пара находим, что при данной температуре $\rho_{нп} \approx 25.8 \frac{\text{г}}{\text{м}^3} = 0.0258 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$.

Теперь можем рассчитать массу воды, которую необходимо испарить:

$\Delta m = (0.70 - 0.30) \times 0.0258 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \times 50 \text{ м}^3 = 0.40 \times 0.0258 \times 50 \text{ кг} = 0.516 \text{ кг}$

Производительность увлажнителя $\alpha$ показывает, какую массу воды он распыляет в единицу времени. Следовательно, время работы увлажнителя $\Delta \tau$ можно найти из формулы:

$\Delta m = \alpha \cdot \Delta \tau$

Отсюда:

$\Delta \tau = \frac{\Delta m}{\alpha}$

Подставим числовые значения. Для удобства расчетов используем производительность в $\frac{\text{кг}}{\text{ч}}$, чтобы получить ответ в часах:

$\Delta \tau = \frac{0.516 \text{ кг}}{2.0 \frac{\text{кг}}{\text{ч}}} = 0.258 \text{ ч}$

Переведем время в минуты:

$\Delta \tau = 0.258 \text{ ч} \times 60 \frac{\text{мин}}{\text{ч}} = 15.48 \text{ мин}$

Округляя результат с учетом точности исходных данных (две значащие цифры), получаем 15.5 минут.

Ответ: время работы увлажнителя должно составлять примерно 15.5 минут.