Номер 557, страница 119 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

557. В двух противоположных вершинах квадрата находятся одинаковые заряды $q = 1,0\ \mu\text{Кл}$ каждый. Во сколько раз увеличится модуль силы, действующей на один из этих зарядов, если в две другие вершины квадрата поместить заряды $q_1 = 1,0\ \mu\text{Кл}$ и $q_2 = -1,0\ \mu\text{Кл}$?

Дано:

$q = 1,0 \text{ мкКл} = 1,0 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$
$q_1 = 1,0 \text{ мкКл} = 1,0 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$
$q_2 = -1,0 \text{ мкКл} = -1,0 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$

Найти:

$\frac{F_{кон}}{F_{нач}}$ — отношение модулей сил, действующих на один из первоначальных зарядов, в конечном и начальном состояниях.

Решение:

Пусть сторона квадрата равна $a$. Заряды $q$ изначально расположены в противоположных вершинах. Рассмотрим силы, действующие на один из этих зарядов. Назовем вершины квадрата A, B, C, D по часовой стрелке. Пусть заряды $q$ находятся в вершинах A и C, а в вершины B и D помещают заряды $q_1$ и $q_2$. Найдем силу, действующую на заряд $q$ в вершине A.

1. Начальное состояние. В начальном состоянии на заряд $q$ в вершине A действует только сила со стороны заряда $q$ в вершине C. Расстояние между ними равно диагонали квадрата, $r_{AC} = a\sqrt{2}$. Модуль силы отталкивания $F_{нач}$ по закону Кулона равен:
$F_{нач} = k \frac{q \cdot q}{(a\sqrt{2})^2} = k \frac{q^2}{2a^2}$
где $k$ — электростатическая постоянная. Эта сила направлена вдоль диагонали от заряда C к заряду A.

2. Конечное состояние. После добавления зарядов $q_1 = q$ в вершину B и $q_2 = -q$ в вершину D, на заряд в вершине A действуют три силы: $\vec{F}_{AC}$ (прежняя сила), $\vec{F}_{AB}$ (от заряда $q_1$) и $\vec{F}_{AD}$ (от заряда $q_2$). Результирующая сила $\vec{F}_{кон}$ равна их векторной сумме:
$\vec{F}_{кон} = \vec{F}_{AC} + \vec{F}_{AB} + \vec{F}_{AD}$

Для вычисления векторной суммы введем систему координат. Поместим вершину A в начало координат (0,0). Пусть вершина D находится в точке (a,0), а вершина B — в точке (0,a). Тогда вершина C будет в точке (a,a).

Рассчитаем модули сил, действующих на заряд в вершине A:
- Модуль силы $\vec{F}_{AC}$ от заряда $q$ в вершине C (a,a): $F_{AC} = k \frac{q^2}{(a\sqrt{2})^2} = k \frac{q^2}{2a^2}$. Эта сила является начальной силой, $F_{AC} = F_{нач}$.
- Модуль силы $\vec{F}_{AB}$ от заряда $q_1=q$ в вершине B (0,a). Расстояние равно $a$: $F_{AB} = k \frac{q \cdot q_1}{a^2} = k \frac{q^2}{a^2} = 2 \left(k \frac{q^2}{2a^2}\right) = 2F_{нач}$. Это сила отталкивания, направленная вдоль оси Y в отрицательном направлении.
- Модуль силы $\vec{F}_{AD}$ от заряда $q_2=-q$ в вершине D (a,0). Расстояние равно $a$: $F_{AD} = k \frac{|q \cdot q_2|}{a^2} = k \frac{q^2}{a^2} = 2F_{нач}$. Это сила притяжения, направленная вдоль оси X в положительном направлении.

Теперь запишем силы в виде векторов, выразив их через модуль начальной силы $F_{нач}$:
- Вектор $\vec{F}_{AC}$ направлен от (a,a) к (0,0), т.е. под углом 225° к оси X. $\vec{F}_{AC} = ( -F_{нач} \cos(45^\circ), -F_{нач} \sin(45^\circ) ) = ( -\frac{F_{нач}}{\sqrt{2}}, -\frac{F_{нач}}{\sqrt{2}} )$
- Вектор $\vec{F}_{AB}$ направлен вдоль отрицательной оси Y, его модуль $2F_{нач}$. $\vec{F}_{AB} = ( 0, -2F_{нач} )$
- Вектор $\vec{F}_{AD}$ направлен вдоль положительной оси X, его модуль $2F_{нач}$. $\vec{F}_{AD} = ( 2F_{нач}, 0 )$

Сложим векторы, чтобы найти результирующую силу $\vec{F}_{кон}$:
$F_{кон,x} = F_{AC,x} + F_{AB,x} + F_{AD,x} = -\frac{F_{нач}}{\sqrt{2}} + 0 + 2F_{нач} = F_{нач}(2 - \frac{1}{\sqrt{2}})$
$F_{кон,y} = F_{AC,y} + F_{AB,y} + F_{AD,y} = -\frac{F_{нач}}{\sqrt{2}} - 2F_{нач} + 0 = -F_{нач}(2 + \frac{1}{\sqrt{2}})$

Найдем модуль вектора $\vec{F}_{кон}$:
$F_{кон} = \sqrt{F_{кон,x}^2 + F_{кон,y}^2} = \sqrt{ \left(F_{нач}(2 - \frac{1}{\sqrt{2}})\right)^2 + \left(-F_{нач}(2 + \frac{1}{\sqrt{2}})\right)^2 }$
$F_{кон} = F_{нач} \sqrt{ (2 - \frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (2 + \frac{1}{\sqrt{2}})^2 }$
Раскроем скобки под корнем: $(4 - \frac{4}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2}) + (4 + \frac{4}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2}) = 8 + 1 = 9$.
$F_{кон} = F_{нач} \sqrt{9} = 3F_{нач}$

Таким образом, отношение модулей сил:
$\frac{F_{кон}}{F_{нач}} = 3$

Ответ: Модуль силы увеличится в 3 раза.