Номер 550, страница 117 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

550. Два точечных заряда $q_1 = q_2 = 25$ нКл расположены в вакууме на расстоянии $r = 24$ см друг от друга. Определите модуль равнодействующей силы, с которой эти заряды действуют на третий точечный заряд $q_3 = 2$ нКл, помещенный в точку, удаленную на $l = 15$ см от каждого из зарядов. Рассмотрите случай, когда заряды $q_1$ и $q_2$ разноименные.

Дано:

$q_1 = q_2 = 25$ нКл

$r = 24$ см

$q_3 = 2$ нКл

$l = 15$ см

$k = 9 \cdot 10^9 \frac{Н \cdot м^2}{Кл^2}$ (электрическая постоянная)

Перевод в систему СИ:

$q_1 = q_2 = 25 \cdot 10^{-9}$ Кл

$q_3 = 2 \cdot 10^{-9}$ Кл

$r = 0.24$ м

$l = 0.15$ м

Найти:

$F_a$ – модуль равнодействующей силы для случая одноименных зарядов $q_1$ и $q_2$.

$F_b$ – модуль равнодействующей силы для случая разноименных зарядов $q_1$ и $q_2$.

Решение:

На заряд $q_3$ действуют две силы: сила $\vec{F}_{13}$ со стороны заряда $q_1$ и сила $\vec{F}_{23}$ со стороны заряда $q_2$. Равнодействующая сила $\vec{F}$ является векторной суммой этих сил:

$\vec{F} = \vec{F}_{13} + \vec{F}_{23}$

Модуль силы взаимодействия между двумя точечными зарядами определяется законом Кулона:

$F = k \frac{|q_a q_b|}{d^2}$

Поскольку $|q_1|=|q_2|$ и расстояния от этих зарядов до заряда $q_3$ одинаковы и равны $l$, модули сил $F_{13}$ и $F_{23}$ равны:

$F_0 = F_{13} = F_{23} = k \frac{|q_1 q_3|}{l^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{25 \cdot 10^{-9} \cdot 2 \cdot 10^{-9}}{(0.15)^2} = \frac{450 \cdot 10^{-9}}{0.0225} = 20000 \cdot 10^{-9} = 2 \cdot 10^{-5}$ Н.

Заряды $q_1$, $q_2$ и $q_3$ образуют равнобедренный треугольник с основанием $r=0.24$ м и боковыми сторонами $l=0.15$ м. Найдем высоту $h$ этого треугольника, опущенную на основание $r$:

$h = \sqrt{l^2 - (\frac{r}{2})^2} = \sqrt{(0.15)^2 - (\frac{0.24}{2})^2} = \sqrt{0.0225 - (0.12)^2} = \sqrt{0.0225 - 0.0144} = \sqrt{0.0081} = 0.09$ м.

1. Случай, когда заряды $q_1$ и $q_2$ одноименные

В этом случае $q_1 = 25$ нКл и $q_2 = 25$ нКл. Так как все три заряда положительны, силы $F_{13}$ и $F_{23}$ являются силами отталкивания. Они направлены вдоль прямых, соединяющих заряды, от зарядов $q_1$ и $q_2$.

При сложении векторов $\vec{F}_{13}$ и $\vec{F}_{23}$ их составляющие, перпендикулярные высоте $h$, взаимно уничтожаются, а составляющие, параллельные высоте, складываются. Равнодействующая сила $\vec{F}_a$ направлена вдоль высоты $h$ от основания треугольника.

Ее модуль равен:

$F_a = 2 \cdot F_0 \cdot \cos(\alpha)$

где $\alpha$ - угол между боковой стороной $l$ и высотой $h$. Из геометрии треугольника:

$\cos(\alpha) = \frac{h}{l} = \frac{0.09}{0.15} = 0.6$

Подставляем значения:

$F_a = 2 \cdot (2 \cdot 10^{-5}) \cdot 0.6 = 2.4 \cdot 10^{-5}$ Н = 24 мкН.

Ответ: $2.4 \cdot 10^{-5}$ Н.

2. Случай, когда заряды $q_1$ и $q_2$ разноименные

Пусть $q_1 = 25$ нКл и $q_2 = -25$ нКл. Сила $\vec{F}_{13}$ является силой отталкивания, а сила $\vec{F}_{23}$ — силой притяжения (направлена к заряду $q_2$). Модули сил остаются прежними ($F_0 = 2 \cdot 10^{-5}$ Н).

При сложении векторов $\vec{F}_{13}$ и $\vec{F}_{23}$ их составляющие, параллельные высоте $h$, взаимно уничтожаются, а составляющие, перпендикулярные высоте (и параллельные основанию $r$), складываются. Равнодействующая сила $\vec{F}_b$ направлена параллельно основанию $r$.

Ее модуль равен:

$F_b = 2 \cdot F_0 \cdot \sin(\alpha)$

Из геометрии треугольника:

$\sin(\alpha) = \frac{r/2}{l} = \frac{0.12}{0.15} = 0.8$

Подставляем значения:

$F_b = 2 \cdot (2 \cdot 10^{-5}) \cdot 0.8 = 3.2 \cdot 10^{-5}$ Н = 32 мкН.

Ответ: $3.2 \cdot 10^{-5}$ Н.