Номер 546, страница 116 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

546. В вершинах правильного треугольника со стороной $a$ расположены в вакууме одинаковые положительные точечные заряды $q$. Определите модуль силы, действующей со стороны двух зарядов на третий. Какой отрицательный заряд надо поместить в центр треугольника, чтобы вся система зарядов находилась в равновесии?

Дано:

$q_1 = q_2 = q_3 = q$ - одинаковые положительные точечные заряды.
$a$ - сторона правильного треугольника.
$\epsilon_0$ - электрическая постоянная (заряды в вакууме).

Найти:

$F$ - модуль силы, действующей на один из зарядов со стороны двух других.
$Q$ - заряд, который нужно поместить в центр треугольника для равновесия системы.

Решение:

Определите модуль силы, действующей со стороны двух зарядов на третий.

Рассмотрим силы, действующие на один из зарядов (назовем его $q_3$), расположенный в одной из вершин треугольника. На него действуют силы со стороны двух других зарядов ($q_1$ и $q_2$).

Согласно закону Кулона, сила взаимодействия между двумя точечными зарядами в вакууме определяется формулой $F_k = k \frac{|q_A q_B|}{r^2}$, где $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$.

Сила, с которой заряд $q_1$ действует на заряд $q_3$, равна по модулю:

$F_{13} = k \frac{q \cdot q}{a^2} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{a^2}$

Сила, с которой заряд $q_2$ действует на заряд $q_3$, равна по модулю:

$F_{23} = k \frac{q \cdot q}{a^2} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{a^2}$

Поскольку все заряды положительные, эти силы являются силами отталкивания и направлены вдоль сторон треугольника, исходящих из вершины с зарядом $q_3$. Угол между векторами сил $\vec{F}_{13}$ и $\vec{F}_{23}$ равен углу при вершине правильного треугольника, то есть $\alpha = 60^\circ$.

Результирующая сила $\vec{F}$, действующая на заряд $q_3$, является векторной суммой этих сил: $\vec{F} = \vec{F}_{13} + \vec{F}_{23}$. Модуль результирующей силы можно найти по теореме косинусов для векторов:

$F = \sqrt{F_{13}^2 + F_{23}^2 + 2 F_{13} F_{23} \cos\alpha}$

Поскольку $F_{13} = F_{23}$, подставим значения:

$F = \sqrt{F_{13}^2 + F_{13}^2 + 2 F_{13}^2 \cos(60^\circ)} = \sqrt{2F_{13}^2 + 2F_{13}^2 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{2F_{13}^2 + F_{13}^2} = \sqrt{3F_{13}^2} = F_{13}\sqrt{3}$

Подставим выражение для $F_{13}$:

$F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{a^2} \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3} q^2}{4\pi\epsilon_0 a^2}$

Ответ: $F = \frac{\sqrt{3} q^2}{4\pi\epsilon_0 a^2}$

Какой отрицательный заряд надо поместить в центр треугольника, чтобы вся система зарядов находилась в равновесии?

Для равновесия всей системы необходимо, чтобы векторная сумма сил, действующих на каждый заряд, была равна нулю. Поместим в центр треугольника (точка пересечения медиан) отрицательный заряд $Q$.

Рассмотрим равновесие заряда $q_3$. На него действует результирующая сила $\vec{F}$ от зарядов $q_1$ и $q_2$, которую мы нашли в первой части. По симметрии эта сила направлена вдоль высоты (медианы, биссектрисы), опущенной на противоположную сторону, от центра треугольника.

Чтобы заряд $q_3$ находился в равновесии, сила притяжения $\vec{F}_Q$ со стороны центрального заряда $Q$ должна уравновешивать силу $\vec{F}$. Это значит, что $|\vec{F}_Q| = |\vec{F}|$ и векторы должны быть направлены в противоположные стороны.

Найдем расстояние $r$ от центра правильного треугольника до его вершины. Высота треугольника $h = a \sin(60^\circ) = a\frac{\sqrt{3}}{2}$. Центр делит высоту в отношении 2:1, считая от вершины. Таким образом, расстояние от центра до вершины:

$r = \frac{2}{3}h = \frac{2}{3} \cdot a\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Модуль силы, действующей со стороны заряда $Q$ на заряд $q_3$, равен:

$F_Q = k \frac{|Q| q}{r^2} = k \frac{|Q| q}{(a/\sqrt{3})^2} = k \frac{|Q| q}{a^2/3} = 3k \frac{|Q| q}{a^2}$

Приравняем модули сил $F$ и $F_Q$:

$F = F_Q$

$\sqrt{3} k \frac{q^2}{a^2} = 3k \frac{|Q| q}{a^2}$

Сократим общие множители ($k$, $q$, $a^2$):

$\sqrt{3} q = 3|Q|$

$|Q| = \frac{\sqrt{3}}{3}q = \frac{q}{\sqrt{3}}$

Поскольку сила $\vec{F}_Q$ должна быть силой притяжения (так как $\vec{F}$ - сила отталкивания), а заряд $q$ положителен, заряд $Q$ должен быть отрицательным:

$Q = -\frac{q}{\sqrt{3}}$

При таком значении $Q$ каждый из трех зарядов в вершинах будет находиться в равновесии. Центральный заряд $Q$ также будет в равновесии, так как на него действуют три одинаковые по модулю силы притяжения со стороны зарядов в вершинах, направленные под углом $120^\circ$ друг к другу, и их векторная сумма равна нулю.

Ответ: $Q = -\frac{q}{\sqrt{3}}$