Номер 540, страница 115 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

540. Точечные заряды $q$, $q$ и $2q$ расположены на одной прямой друг за другом. Причем расстояние между соседними зарядами одинаково. На средний заряд действует сила, модуль которой $F_1 = 2 \text{ мН}$. Определите модуль силы, действующей на заряд $2q$.

Дано:

Точечные заряды: $q$, $q$ и $2q$.

Заряды расположены на одной прямой, расстояние между соседними зарядами одинаково и равно $r$.

Модуль силы, действующей на средний заряд: $F_1 = 2 \text{ мН}$.

Найти:

Модуль силы, действующей на заряд $2q$ — $F_{2q}$.

Решение:

Пусть три заряда расположены на оси $x$. Обозначим их $q_A$, $q_B$, $q_C$ в порядке их расположения. Расстояние между соседними зарядами равно $r$.

Сначала определим, какой из зарядов ($q, q, 2q$) находится в середине. Результирующая сила, действующая на средний заряд $q_B$, создается зарядами $q_A$ и $q_C$. Согласно закону Кулона, модуль силы взаимодействия между двумя точечными зарядами равен $F = k\frac{|q_1 q_2|}{R^2}$, где $k$ — коэффициент пропорциональности. Силы, действующие на средний заряд со стороны крайних, направлены в противоположные стороны (если все заряды одного знака, что можно предположить без потери общности).

Модуль результирующей силы на средний заряд $q_B$ равен:

$F_1 = |k\frac{q_A q_B}{r^2} - k\frac{q_C q_B}{r^2}| = k\frac{|q_B|}{r^2}|q_A - q_C|$

Если предположить, что средний заряд $q_B = 2q$, то крайними зарядами будут $q_A = q$ и $q_C = q$. В этом случае:

$F_1 = k\frac{|2q|}{r^2}|q - q| = 0$

Это противоречит условию, что $F_1 = 2 \text{ мН}$. Следовательно, средний заряд не может быть $2q$.

Значит, средний заряд $q_B = q$. Тогда крайними зарядами являются $q$ и $2q$. Возможны две конфигурации: $(q, q, 2q)$ или $(2q, q, q)$. Для обеих конфигураций модуль силы, действующей на средний заряд, будет одинаков.

Рассмотрим конфигурацию, где $q_A=q$, $q_B=q$ и $q_C=2q$.

$F_1 = k\frac{|q|}{r^2}|q - 2q| = k\frac{q^2}{r^2}$

Из условия задачи нам известно, что $F_1 = 2 \text{ мН}$, поэтому:

$k\frac{q^2}{r^2} = 2 \text{ мН}$

Теперь найдем модуль силы $F_{2q}$, действующей на заряд $2q$ (в нашей конфигурации это $q_C$). На этот заряд действуют силы со стороны $q_A$ и $q_B$.

Сила со стороны заряда $q_A$, находящегося на расстоянии $2r$:

$F_{CA} = k\frac{|q_A q_C|}{(2r)^2} = k\frac{|q \cdot 2q|}{4r^2} = k\frac{2q^2}{4r^2} = \frac{1}{2}k\frac{q^2}{r^2}$

Сила со стороны заряда $q_B$, находящегося на расстоянии $r$:

$F_{CB} = k\frac{|q_B q_C|}{r^2} = k\frac{|q \cdot 2q|}{r^2} = 2k\frac{q^2}{r^2}$

Обе силы, $\vec{F}_{CA}$ и $\vec{F}_{CB}$, направлены в одну сторону (отталкивают заряд $2q$ от $q$ и $q$). Следовательно, модуль результирующей силы равен сумме их модулей:

$F_{2q} = F_{CA} + F_{CB} = \frac{1}{2}k\frac{q^2}{r^2} + 2k\frac{q^2}{r^2} = (\frac{1}{2} + 2)k\frac{q^2}{r^2} = \frac{5}{2}k\frac{q^2}{r^2}$

Подставим ранее найденное выражение $k\frac{q^2}{r^2} = F_1$:

$F_{2q} = \frac{5}{2} F_1$

Теперь подставим числовое значение $F_1 = 2 \text{ мН}$:

$F_{2q} = \frac{5}{2} \cdot 2 \text{ мН} = 5 \text{ мН}$

Ответ: $5 \text{ мН}$.