Номер 542, страница 115 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

542. Три одинаковых металлических маленьких шарика с зарядами $q_A = q > 0$, $q_B = -3q < 0$ и $q_C = q > 0$ расположены на прямой на равном расстоянии $r$ друг от друга (рис. 96).

Рис. 96

Во сколько раз уменьшится модуль силы, действующей на заряд $q_C$, если шарики с зарядами $q_A$ и $q_B$ привести в соприкосновение и вернуть их на прежнее место?

Дано:

Три одинаковых металлических шарика.

Начальные заряды: $q_A = q$, $q_B = -3q$, $q_C = q$.

Расстояние между A и B: $r_{AB} = r$.

Расстояние между B и C: $r_{BC} = r$.

Найти:

Во сколько раз уменьшится модуль силы, действующей на заряд $q_C$, то есть найти отношение $\frac{F_1}{F_2}$.

Решение:

1. Найдем модуль равнодействующей силы $F_1$, действующей на заряд $q_C$ в начальном положении.

На заряд $q_C$ действуют две силы: сила со стороны заряда $q_A$ ($\vec{F}_{AC}$) и сила со стороны заряда $q_B$ ($\vec{F}_{BC}$). По принципу суперпозиции, результирующая сила равна их векторной сумме: $\vec{F}_1 = \vec{F}_{AC} + \vec{F}_{BC}$.

Так как все заряды расположены на одной прямой, силы также будут направлены вдоль этой прямой. Выберем положительное направление оси вправо.

Сила, действующая со стороны заряда $q_A$ на $q_C$. Расстояние между ними $r_{AC} = r_{AB} + r_{BC} = r + r = 2r$. Заряды $q_A=q$ и $q_C=q$ одноименные, поэтому сила $F_{AC}$ будет силой отталкивания, направленной вправо (вдоль оси). Ее модуль по закону Кулона:

$F_{AC} = k \frac{|q_A q_C|}{r_{AC}^2} = k \frac{|q \cdot q|}{(2r)^2} = k \frac{q^2}{4r^2}$

Сила, действующая со стороны заряда $q_B$ на $q_C$. Расстояние между ними $r_{BC} = r$. Заряды $q_B=-3q$ и $q_C=q$ разноименные, поэтому сила $F_{BC}$ будет силой притяжения, направленной влево (против оси). Ее модуль:

$F_{BC} = k \frac{|q_B q_C|}{r_{BC}^2} = k \frac{|(-3q) \cdot q|}{r^2} = k \frac{3q^2}{r^2}$

Результирующая сила $F_1$ направлена влево, так как $F_{BC} > F_{AC}$. Ее модуль равен:

$F_1 = |F_{AC} - F_{BC}| = |k \frac{q^2}{4r^2} - k \frac{3q^2}{r^2}| = |k \frac{q^2 - 12q^2}{4r^2}| = |-k \frac{11q^2}{4r^2}| = k \frac{11q^2}{4r^2}$

2. Теперь шарики с зарядами $q_A$ и $q_B$ приводят в соприкосновение. Поскольку шарики одинаковые и металлические, их суммарный заряд перераспределится между ними поровну. Найдем новые заряды $q'_A$ и $q'_B$.

Суммарный заряд: $Q = q_A + q_B = q + (-3q) = -2q$.

Новые заряды шариков A и B после соприкосновения:

$q'_A = q'_B = \frac{Q}{2} = \frac{-2q}{2} = -q$.

3. Шарики возвращают на прежние места. Найдем модуль новой равнодействующей силы $F_2$, действующей на заряд $q_C$.

Сила со стороны нового заряда $q'_A$ на $q_C$. Заряды $q'_A=-q$ и $q_C=q$ разноименные, сила $F'_{AC}$ является силой притяжения, направлена влево (против оси). Ее модуль:

$F'_{AC} = k \frac{|q'_A q_C|}{r_{AC}^2} = k \frac{|(-q) \cdot q|}{(2r)^2} = k \frac{q^2}{4r^2}$

Сила со стороны нового заряда $q'_B$ на $q_C$. Заряды $q'_B=-q$ и $q_C=q$ разноименные, сила $F'_{BC}$ является силой притяжения, направлена влево (против оси). Ее модуль:

$F'_{BC} = k \frac{|q'_B q_C|}{r_{BC}^2} = k \frac{|(-q) \cdot q|}{r^2} = k \frac{q^2}{r^2}$

Обе силы, $F'_{AC}$ и $F'_{BC}$, направлены в одну сторону (влево). Поэтому модуль результирующей силы $F_2$ равен сумме их модулей:

$F_2 = F'_{AC} + F'_{BC} = k \frac{q^2}{4r^2} + k \frac{q^2}{r^2} = k \frac{q^2 + 4q^2}{4r^2} = k \frac{5q^2}{4r^2}$

4. Найдем, во сколько раз уменьшился модуль силы, то есть найдем отношение $\frac{F_1}{F_2}$:

$\frac{F_1}{F_2} = \frac{k \frac{11q^2}{4r^2}}{k \frac{5q^2}{4r^2}} = \frac{11}{5} = 2.2$

Ответ: Модуль силы, действующей на заряд $q_C$, уменьшится в 2,2 раза.