Номер 547, страница 116 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

547. В двух вершинах правильного треугольника со стороной $a$ расположены в дистиллированной воде положительные точечные заряды $q$. В третьей вершине расположен отрицательный заряд $-q$. Определите модуль силы, действующей на один из положительных зарядов. Диэлектрическая проницаемость воды равна $\varepsilon$.

Дано:

Правильный треугольник со стороной $a$.

Заряд в первой вершине: $q_1 = +q$.

Заряд во второй вершине: $q_2 = +q$.

Заряд в третьей вершине: $q_3 = -q$.

Среда: дистиллированная вода с диэлектрической проницаемостью $\epsilon$.

Найти:

Модуль силы $F$, действующей на один из положительных зарядов.

Решение:

Рассмотрим силы, действующие на один из положительных зарядов, например, на заряд $q_1$. Согласно принципу суперпозиции, результирующая сила, действующая на этот заряд, является векторной суммой сил со стороны двух других зарядов: заряда $q_2$ и заряда $q_3$.

$ \vec{F} = \vec{F}_{21} + \vec{F}_{31} $

Сила $ \vec{F}_{21} $ — это сила отталкивания, так как заряды $q_1$ и $q_2$ одноимённые (оба положительные). Модуль этой силы определяется по закону Кулона для диэлектрической среды:

$ F_{21} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0\epsilon} \frac{|q_1 q_2|}{a^2} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0\epsilon} \frac{q^2}{a^2} $

где $a$ — расстояние между зарядами (сторона треугольника), $\epsilon_0$ — электрическая постоянная, $\epsilon$ — диэлектрическая проницаемость среды.

Сила $ \vec{F}_{31} $ — это сила притяжения, так как заряды $q_1$ и $q_3$ разноимённые. Модуль этой силы:

$ F_{31} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0\epsilon} \frac{|q_1 q_3|}{a^2} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0\epsilon} \frac{|q (-q)|}{a^2} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0\epsilon} \frac{q^2}{a^2} $

Модули сил $F_{21}$ и $F_{31}$ равны. Обозначим их $F_0$.

$ F_0 = F_{21} = F_{31} = \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0\epsilon a^2} $

Теперь найдем модуль их векторной суммы. Вектор силы $ \vec{F}_{21} $ направлен вдоль прямой, соединяющей заряды $q_1$ и $q_2$, в сторону от заряда $q_2$. Вектор силы $ \vec{F}_{31} $ направлен вдоль прямой, соединяющей заряды $q_1$ и $q_3$, к заряду $q_3$.

Поскольку треугольник правильный, все его углы равны $60^\circ$. Угол между векторами сил $ \vec{F}_{21} $ и $ \vec{F}_{31} $ составляет $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Модуль результирующей силы $F$ найдем по теореме косинусов:

$ F = \sqrt{F_{21}^2 + F_{31}^2 + 2 F_{21} F_{31} \cos(120^\circ)} $

Подставим значения модулей и косинуса угла:

$ F = \sqrt{F_0^2 + F_0^2 + 2 F_0^2 \cdot (-\frac{1}{2})} = \sqrt{2F_0^2 - F_0^2} = \sqrt{F_0^2} = F_0 $

Таким образом, модуль результирующей силы равен модулю силы взаимодействия между каждой парой зарядов.

Ответ: $F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0\epsilon} \frac{q^2}{a^2}$.