Номер 553, страница 118 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

553. Два одинаковых шарика, заряженные равными одноименными зарядами $q = 1,6 \text{ мкКл}$ каждый, подвешены в вакууме на одной высоте на непроводящих легких нитях равной длины. Расстояние между точками подвеса $AB = 20 \text{ см}$ (рис. 101). Какой заряд нужно поместить на расстоянии $r = 20 \text{ см}$ от каждого из шариков, чтобы нити были расположены вертикально?

Рис. 101

Дано:

$q = 1,6 \text{ мкКл}$

$AB = 20 \text{ см}$

$r = 20 \text{ см}$

$q = 1,6 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$

$AB = 0,2 \text{ м}$

$r = 0,2 \text{ м}$

Найти:

$q_0$ - ?

Решение:

Рассмотрим силы, действующие на один из шариков (например, левый) в горизонтальном направлении. По условию нити расположены вертикально, что означает, что шарики находятся в состоянии равновесия. Для этого сумма всех сил, действующих на шарик в горизонтальном направлении, должна быть равна нулю.

В горизонтальной плоскости на шарик действуют две силы:

1. Сила кулоновского отталкивания $\vec{F}_{qq}$ со стороны второго шарика с зарядом $q$. Так как заряды одноименные, эта сила направлена горизонтально влево.

2. Горизонтальная составляющая силы $\vec{F}_{q0,x}$ со стороны заряда $q_0$.

Условие равновесия в проекции на горизонтальную ось: $F_{qq} = F_{q0,x}$. Силы должны быть равны по модулю и противоположны по направлению.

Поскольку сила $\vec{F}_{qq}$ направлена влево, то горизонтальная составляющая $\vec{F}_{q0,x}$ должна быть направлена вправо. Это возможно только в том случае, если заряд $q_0$ притягивает шарик $q$, а значит, их знаки противоположны.

Модуль силы отталкивания между шариками $q$ определяется законом Кулона:

$F_{qq} = k \frac{q^2}{(AB)^2}$

Из условия задачи следует, что расстояние между шариками $AB = 20 \text{ см}$ и расстояние от каждого шарика до заряда $q_0$ также равно $r = 20 \text{ см}$. Таким образом, три заряда образуют равносторонний треугольник со стороной $a = AB = r = 20 \text{ см}$. Все углы в таком треугольнике равны $60^\circ$.

Сила $\vec{F}_{q0}$, действующая со стороны заряда $q_0$, направлена вдоль линии, соединяющей левый шарик и заряд $q_0$. Эта линия образует угол $\alpha = 60^\circ$ с горизонталью. Модуль этой силы равен:

$F_{q0} = k \frac{|q \cdot q_0|}{r^2}$

Ее горизонтальная составляющая равна:

$F_{q0,x} = F_{q0} \cos(\alpha) = k \frac{|q \cdot q_0|}{r^2} \cos(60^\circ)$

Приравняем модули горизонтальных сил, чтобы удовлетворить условию равновесия:

$k \frac{q^2}{(AB)^2} = k \frac{|q \cdot q_0|}{r^2} \cos(60^\circ)$

Так как $AB = r$, мы можем сократить уравнение:

$q^2 = |q \cdot q_0| \cos(60^\circ)$

Разделив на $q$ (поскольку $q \neq 0$), получим:

$q = |q_0| \cos(60^\circ)$

Мы знаем, что $\cos(60^\circ) = 1/2$. Подставим это значение в уравнение:

$q = |q_0| \cdot \frac{1}{2}$

Отсюда находим модуль искомого заряда $q_0$:

$|q_0| = 2q$

Подставим числовое значение заряда $q$:

$|q_0| = 2 \cdot 1,6 \text{ мкКл} = 3,2 \text{ мкКл}$

Как было установлено ранее, знаки зарядов $q$ и $q_0$ должны быть противоположны. Следовательно, если заряды $q$ положительны, то $q_0$ отрицателен.

$q_0 = -3,2 \text{ мкКл}$

Ответ: $q_0 = -3,2 \text{ мкКл}$.