Номер 555, страница 118 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

555. Четыре одинаковых точечных заряда $q$ каждый расположены в вакууме в вершинах квадрата со стороной $a$. Определите модуль силы, действующей со стороны трех зарядов на четвертый. Какой заряд следует поместить в центр квадрата, чтобы равнодействующая кулоновских сил, действующих на каждый заряд, была равна нулю?

Дано:

Четыре одинаковых точечных заряда: $q_1 = q_2 = q_3 = q_4 = q$

Сторона квадрата: $a$

Среда: вакуум (электрическая постоянная $\epsilon_0$)

Найти:

$F$ - модуль силы, действующей со стороны трех зарядов на четвертый.

$Q$ - заряд, который следует поместить в центр квадрата для равновесия.

Решение:

Определите модуль силы, действующей со стороны трех зарядов на четвертый.

Рассмотрим силы, действующие на один из зарядов, например, на тот, что находится в правом верхнем углу квадрата. Назовем его $q_4$. Пусть вершины квадрата расположены в точках с координатами $(0, a)$, $(a, a)$, $(a, 0)$ и $(0, 0)$. Заряд $q_4$ находится в точке $(a, a)$.

На заряд $q_4$ действуют три кулоновские силы со стороны остальных трех зарядов:

1. Сила $\vec{F}_1$ от заряда в точке $(0, a)$. Расстояние между ними $a$. Модуль силы $F_1 = k \frac{q^2}{a^2}$, где $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$. Сила направлена вправо, вдоль оси X.
2. Сила $\vec{F}_2$ от заряда в точке $(a, 0)$. Расстояние между ними $a$. Модуль силы $F_2 = k \frac{q^2}{a^2}$. Сила направлена вверх, вдоль оси Y.
3. Сила $\vec{F}_3$ от заряда в точке $(0, 0)$. Расстояние между ними равно диагонали квадрата $d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$. Модуль силы $F_3 = k \frac{q^2}{(a\sqrt{2})^2} = k \frac{q^2}{2a^2}$. Сила направлена вдоль диагонали, под углом $45^\circ$ к осям.

Результирующая сила $\vec{F}$ является векторной суммой этих трех сил: $\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3$.

Силы $\vec{F}_1$ и $\vec{F}_2$ перпендикулярны друг другу. Их векторная сумма $\vec{F}_{12}$ направлена также вдоль диагонали (сонаправленно с $\vec{F}_3$). Модуль $\vec{F}_{12}$ найдем по теореме Пифагора:

$F_{12} = \sqrt{F_1^2 + F_2^2} = \sqrt{\left(k \frac{q^2}{a^2}\right)^2 + \left(k \frac{q^2}{a^2}\right)^2} = \sqrt{2 \left(k \frac{q^2}{a^2}\right)^2} = k \frac{q^2}{a^2}\sqrt{2}$.

Так как векторы $\vec{F}_{12}$ и $\vec{F}_3$ сонаправлены, модуль полной результирующей силы $F$ равен сумме их модулей:

$F = F_{12} + F_3 = k \frac{q^2}{a^2}\sqrt{2} + k \frac{q^2}{2a^2} = k \frac{q^2}{a^2}\left(\sqrt{2} + \frac{1}{2}\right)$.

Подставим значение коэффициента $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$:

$F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{a^2}\left(\sqrt{2} + \frac{1}{2}\right) = \frac{q^2(2\sqrt{2}+1)}{8\pi\epsilon_0 a^2}$.

Ответ: Модуль силы, действующей со стороны трех зарядов на четвертый, равен $F = \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 a^2}\left(\sqrt{2} + \frac{1}{2}\right)$.

Какой заряд следует поместить в центр квадрата, чтобы равнодействующая кулоновских сил, действующих на каждый заряд, была равна нулю?

Чтобы система зарядов находилась в равновесии, равнодействующая всех сил, приложенных к каждому из зарядов, должна быть равна нулю. В силу симметрии задачи, достаточно рассмотреть условие равновесия для одного любого заряда в вершине, например, для того же заряда $q_4$.

Мы уже нашли, что сила $\vec{F}$ со стороны трех других зарядов направлена от центра квадрата вдоль диагонали. Чтобы уравновесить эту силу, необходимо поместить в центр квадрата такой заряд $Q$, который создаст силу притяжения $\vec{F}_Q$, равную по модулю и противоположную по направлению силе $\vec{F}$.

$\vec{F} + \vec{F}_Q = 0 \implies \vec{F}_Q = -\vec{F}$.

Для того чтобы сила $\vec{F}_Q$ была силой притяжения, заряд $Q$ должен иметь знак, противоположный знаку заряда $q$.

Расстояние $r$ от центра квадрата до любой из его вершин равно половине диагонали:

$r = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Модуль силы $\vec{F}_Q$, создаваемой зарядом $Q$, равен:

$F_Q = k \frac{|Q|q}{r^2} = k \frac{|Q|q}{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2} = k \frac{|Q|q}{\frac{2a^2}{4}} = k \frac{2|Q|q}{a^2}$.

Приравняем модули сил $F$ и $F_Q$:

$F_Q = F$

$k \frac{2|Q|q}{a^2} = k \frac{q^2}{a^2}\left(\sqrt{2} + \frac{1}{2}\right)$.

Сократим общие множители $k, q, a^2$:

$2|Q| = q\left(\sqrt{2} + \frac{1}{2}\right)$.

$|Q| = \frac{q}{2}\left(\sqrt{2} + \frac{1}{2}\right) = q\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{4}\right) = q\frac{2\sqrt{2}+1}{4}$.

Учитывая, что знак заряда $Q$ должен быть противоположен знаку $q$, получаем:

$Q = -q \frac{2\sqrt{2}+1}{4}$.

Ответ: $Q = -q \frac{2\sqrt{2}+1}{4}$.