Номер 548, страница 117 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

548. В каждой вершине правильного треугольника расположены в вакууме одинаковые точечные заряды $q = 1,0 \text{ мкКл}$. Определите модуль силы, действующей на заряд $q_0 = 16 \text{ нКл}$, помещенный на середине одной из сторон треугольника. Сторона треугольника $a = 8,0 \text{ см}$.

Дано:

$q = 1,0 \text{ мкКл} = 1,0 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$
$q_0 = 16 \text{ нКл} = 16 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$
$a = 8,0 \text{ см} = 0,08 \text{ м}$
$k = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$ (электрическая постоянная в вакууме)

Найти:

$F$ - модуль силы, действующей на заряд $q_0$.

Решение:

Пусть вершины правильного треугольника обозначены как A, B и C. В каждой из них находится заряд $q$. Заряд $q_0$ помещен в точку M, которая является серединой стороны AB.

Согласно принципу суперпозиции, результирующая сила, действующая на заряд $q_0$, равна векторной сумме сил, действующих на него со стороны каждого из трех зарядов в вершинах:
$ \vec{F} = \vec{F}_A + \vec{F}_B + \vec{F}_C $

Рассмотрим силы, действующие со стороны зарядов в вершинах A и B. Расстояния от этих зарядов до заряда $q_0$ одинаковы и равны половине стороны треугольника:
$r_A = r_B = \frac{a}{2}$

Поскольку заряды в вершинах A и B одинаковы ($q$) и находятся на одинаковом расстоянии от $q_0$, модули сил $F_A$ и $F_B$ равны:
$|\vec{F}_A| = |\vec{F}_B| = k \frac{|q \cdot q_0|}{(a/2)^2}$

Все заряды ($q$ и $q_0$) положительны, поэтому силы являются силами отталкивания. Сила $\vec{F}_A$ направлена от заряда A вдоль стороны AB. Сила $\vec{F}_B$ направлена от заряда B вдоль стороны AB. Таким образом, векторы сил $\vec{F}_A$ и $\vec{F}_B$ равны по модулю и противоположны по направлению. Их векторная сумма равна нулю:
$\vec{F}_A + \vec{F}_B = 0$

Следовательно, результирующая сила, действующая на заряд $q_0$, равна силе, действующей на него только со стороны заряда в вершине C:
$\vec{F} = \vec{F}_C$

Найдем расстояние $r_C$ от вершины C до середины стороны AB. Это расстояние равно высоте $h$ правильного треугольника. Высоту можно найти по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного стороной $a$, половиной основания $a/2$ и высотой $h$:
$h^2 = a^2 - (\frac{a}{2})^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$
$r_C = h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Теперь найдем модуль силы $F_C$ по закону Кулона:
$F = F_C = k \frac{|q \cdot q_0|}{r_C^2} = k \frac{|q \cdot q_0|}{(\frac{a\sqrt{3}}{2})^2} = k \frac{|q \cdot q_0|}{\frac{3a^2}{4}} = \frac{4k|q \cdot q_0|}{3a^2}$

Подставим числовые значения в систему СИ:
$F = \frac{4 \cdot (9 \cdot 10^9) \cdot (1,0 \cdot 10^{-6}) \cdot (16 \cdot 10^{-9})}{3 \cdot (0,08)^2} = \frac{4 \cdot 9 \cdot 16 \cdot 10^{9-6-9}}{3 \cdot 0,0064} = \frac{576 \cdot 10^{-6}}{0,0192} \text{ Н}$
$F = 30000 \cdot 10^{-6} \text{ Н} = 0,03 \text{ Н}$

Ответ: $F = 0,03 \text{ Н}$.