Номер 552, страница 117 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

552. Три точечных заряда $q_1 = q = 10 \text{ мкКл}$, $q_2 = 2q$ и $q_3 = -3q$ расположены в вакууме на окружности радиусом $R = 30 \text{ см}$ (рис. 100). Определите модуль кулоновской силы, действующей на заряд $q_1$.

Рис. 100

Дано:

$q_1 = q = 10 \text{ мкКл} = 10 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$

$q_2 = 2q = 2 \cdot 10 \text{ мкКл} = 20 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$

$q_3 = -3q = -3 \cdot 10 \text{ мкКл} = -30 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$

$R = 30 \text{ см} = 0.3 \text{ м}$

$k = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$ (электрическая постоянная в вакууме)

Найти:

$F_1$ - модуль результирующей кулоновской силы, действующей на заряд $q_1$.

Решение:

На заряд $q_1$ действуют две кулоновские силы: сила $\vec{F}_{21}$ со стороны заряда $q_2$ и сила $\vec{F}_{31}$ со стороны заряда $q_3$. Согласно принципу суперпозиции, результирующая сила $\vec{F}_1$ является векторной суммой этих сил:

$\vec{F}_1 = \vec{F}_{21} + \vec{F}_{31}$

Сначала определим расстояния между зарядами. Из рисунка видно, что заряды $q_1$, $q_2$ и центр окружности O образуют равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами R. То же самое верно для зарядов $q_1$, $q_3$ и центра O. Расстояние от $q_2$ до $q_1$ ($r_{21}$) и от $q_3$ до $q_1$ ($r_{31}$) одинаковы и равны длине гипотенузы в этом треугольнике. По теореме Пифагора:

$r_{21} = r_{31} = \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2}$

Теперь найдем модули сил, действующих на заряд $q_1$, используя закон Кулона $F = k \frac{|q_a q_b|}{r^2}$.

Модуль силы $\vec{F}_{21}$, действующей со стороны заряда $q_2$ на $q_1$:

$F_{21} = k \frac{|q_1 q_2|}{r_{21}^2} = k \frac{|q \cdot 2q|}{(R\sqrt{2})^2} = k \frac{2q^2}{2R^2} = k \frac{q^2}{R^2}$

Поскольку заряды $q_1$ и $q_2$ одноименные (оба положительные), сила $F_{21}$ является силой отталкивания.

Модуль силы $\vec{F}_{31}$, действующей со стороны заряда $q_3$ на $q_1$:

$F_{31} = k \frac{|q_1 q_3|}{r_{31}^2} = k \frac{|q \cdot (-3q)|}{(R\sqrt{2})^2} = k \frac{3q^2}{2R^2}$

Поскольку заряды $q_1$ и $q_3$ разноименные (один положительный, другой отрицательный), сила $F_{31}$ является силой притяжения.

Из расположения зарядов следует, что векторы сил $\vec{F}_{21}$ и $\vec{F}_{31}$ перпендикулярны друг другу. Вектор отталкивания $\vec{F}_{21}$ направлен от $q_2$ к $q_1$. Вектор притяжения $\vec{F}_{31}$ направлен от $q_1$ к $q_3$. Угол между этими направлениями составляет 90°.

Модуль результирующей силы $F_1$ можно найти по теореме Пифагора для векторов сил:

$F_1 = \sqrt{F_{21}^2 + F_{31}^2}$

Подставим числовые значения и произведем вычисления.

Сначала вычислим величину $F_{21}$:

$F_{21} = k \frac{q^2}{R^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{(10 \cdot 10^{-6})^2}{(0.3)^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{100 \cdot 10^{-12}}{0.09} = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot 10^{-10}}{9 \cdot 10^{-2}} = 10 \text{ Н}$

Теперь вычислим величину $F_{31}$:

$F_{31} = k \frac{3q^2}{2R^2} = \frac{3}{2} \left( k \frac{q^2}{R^2} \right) = \frac{3}{2} \cdot 10 = 15 \text{ Н}$

Теперь найдем модуль результирующей силы:

$F_1 = \sqrt{10^2 + 15^2} = \sqrt{100 + 225} = \sqrt{325} = \sqrt{25 \cdot 13} = 5\sqrt{13} \text{ Н}$

Вычислим приближенное значение:

$F_1 \approx 5 \cdot 3.606 \approx 18.03 \text{ Н}$

Ответ: $F_1 = 5\sqrt{13} \text{ Н} \approx 18.03 \text{ Н}$.