Номер 559, страница 119 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

559. Три одинаковых маленьких шарика, соединенные вместе двумя непроводящими пружинами жесткостью $k_{\text{п}}$ каждая, расположены в воздухе вдоль одной прямой на гладкой горизонтальной поверхности. Расстояние между крайними шариками $l_0$. После того как каждому шарику сообщили равные одноименные заряды, расстояние между крайними шариками стало равным $l$. Какой заряд сообщили каждому шарику?

Дано:

Жёсткость каждой пружины: $k_п$

Начальное расстояние между крайними шариками: $l_0$

Конечное расстояние между крайними шариками: $l$

Заряд каждого шарика: $q$

Электрическая постоянная: $\epsilon_0$

Найти:

Заряд $q$

Решение

Обозначим шарики слева направо номерами 1, 2 и 3.

В начальном состоянии, когда шарики не заряжены, система находится в равновесии. Расстояние между крайними шариками (1 и 3) равно $l_0$. Поскольку шарики и пружины одинаковы, средний шарик (2) находится ровно посередине. Пружины не деформированы, их длина в этом состоянии является их естественной длиной. Длина каждой пружины равна расстоянию между соседними шариками:

$L_{ест} = \frac{l_0}{2}$

После того как каждому шарику сообщили одинаковый заряд $q$, между ними возникли силы электростатического отталкивания. Шарики разошлись, растянув пружины, пока не установилось новое равновесие. Расстояние между крайними шариками стало равным $l$.

В новом положении равновесия, из-за симметрии, средний шарик (2) по-прежнему находится посередине. Расстояние между соседними шариками стало равным $l/2$.

Каждая пружина растянулась. Удлинение каждой пружины $\Delta L$ равно:

$\Delta L = (\text{новая длина}) - (\text{естественная длина}) = \frac{l}{2} - \frac{l_0}{2} = \frac{l - l_0}{2}$

В соответствии с законом Гука, на каждый из крайних шариков со стороны пружины действует сила упругости $F_{упр}$, направленная к центру системы:

$F_{упр} = k_п \cdot \Delta L = k_п \frac{l - l_0}{2}$

Рассмотрим условие равновесия для одного из крайних шариков, например, для шарика 1 (левого). На него действуют сила упругости $F_{упр}$ (вправо) и две силы электростатического отталкивания (влево) со стороны шариков 2 и 3.

Сила отталкивания со стороны шарика 2, находящегося на расстоянии $r_{12} = l/2$:

$F_{21} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{(l/2)^2} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{4q^2}{l^2}$

Сила отталкивания со стороны шарика 3, находящегося на расстоянии $r_{13} = l$:

$F_{31} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{l^2}$

Суммарная электростатическая сила $F_{эл}$, действующая на шарик 1, направлена влево и равна сумме этих сил:

$F_{эл} = F_{21} + F_{31} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{4q^2}{l^2} + \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{l^2} = \frac{5}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{l^2}$

В положении равновесия сила упругости уравновешивает суммарную электростатическую силу:

$F_{упр} = F_{эл}$

$k_п \frac{l - l_0}{2} = \frac{5}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{l^2}$

Выразим из этого уравнения заряд $q$:

$q^2 = \frac{k_п (l - l_0) \cdot 4\pi\epsilon_0 l^2}{2 \cdot 5} = \frac{2\pi\epsilon_0 k_п l^2 (l - l_0)}{5}$

$q = \sqrt{\frac{2\pi\epsilon_0 k_п l^2 (l - l_0)}{5}} = l \sqrt{\frac{2\pi\epsilon_0 k_п (l - l_0)}{5}}$

Ответ: $q = l \sqrt{\frac{2\pi\epsilon_0 k_п (l - l_0)}{5}}$