Номер 558, страница 119 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

558. Четыре положительных точечных заряда $q_1 = q_3 = 5,0$ нКл, $q_2 = q_4 = 7,0$ нКл, находящиеся в воздухе, связаны легкими шелковыми нитями одинаковой длины так, что они образуют два равносторонних треугольника, длины сторон которых $l = 90$ мм (рис. 102). Определите модуль силы натяжения нити, связывающей заряды $q_2$ и $q_4$.

Рис. 102

Дано:

$q_1 = q_3 = 5,0 \text{ нКл}$

$q_2 = q_4 = 7,0 \text{ нКл}$

$l = 90 \text{ мм}$

$\epsilon = 1$ (воздух)

$k = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$

$q_1 = q_3 = 5,0 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

$q_2 = q_4 = 7,0 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

$l = 90 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 0,09 \text{ м}$

Найти:

$T_{24}$ - модуль силы натяжения нити, связывающей заряды $q_2$ и $q_4$.

Решение:

Система зарядов находится в равновесии. Это означает, что векторная сумма всех сил, действующих на каждый заряд, равна нулю. Мы можем найти искомую силу натяжения $T_{24}$, составив уравнения равновесия для зарядов.

Рассмотрим равновесие заряда $q_2$. На него действуют силы электростатического отталкивания от зарядов $q_1, q_3, q_4$ ($\vec{F}_{12}, \vec{F}_{32}, \vec{F}_{42}$) и силы натяжения нитей ($\vec{T}_{12}, \vec{T}_{32}, \vec{T}_{24}$).

Условие равновесия для заряда $q_2$:

$\vec{F}_{12} + \vec{F}_{32} + \vec{F}_{42} + \vec{T}_{12} + \vec{T}_{32} + \vec{T}_{24} = \vec{0}$

Для решения задачи спроецируем все силы на оси координат. Выберем систему координат так, чтобы ось $OY$ проходила через заряды $q_2$ и $q_4$ (направлена от $q_4$ к $q_2$), а ось $OX$ была ей перпендикулярна.

Поскольку система симметрична, силы натяжения в боковых нитях равны: $T_{12} = T_{32} = T_s$. Искомая сила натяжения $T_{24} = T_c$. Так как треугольники $q_1q_2q_4$ и $q_3q_2q_4$ равносторонние, все углы в них равны $60^\circ$. Угол между нитью $q_1-q_2$ и нитью $q_2-q_4$ равен $60^\circ$.

Запишем уравнение равновесия для заряда $q_2$ в проекции на ось $OY$:

$F_{42} + F_{12}\cos(60^\circ) + F_{32}\cos(60^\circ) - T_c - T_s\cos(60^\circ) - T_s\cos(60^\circ) = 0$

Подставим модули сил: $F_{42} = k\frac{q_2 q_4}{l^2}$ и $F_{12} = F_{32} = k\frac{q_1 q_2}{l^2}$.

$k\frac{q_2 q_4}{l^2} + 2 \cdot k\frac{q_1 q_2}{l^2}\cos(60^\circ) - T_c - 2T_s\cos(60^\circ) = 0$

Так как $\cos(60^\circ) = 1/2$, получаем:

$k\frac{q_2 q_4}{l^2} + k\frac{q_1 q_2}{l^2} - T_c - T_s = 0$

$T_c = k\frac{q_2(q_1+q_4)}{l^2} - T_s$ (1)

Теперь рассмотрим равновесие заряда $q_1$. Расстояние между зарядами $q_1$ и $q_3$ равно $d_{13} = 2 \cdot l \cos(30^\circ) = l\sqrt{3}$. Угол между нитью $q_1-q_2$ и линией, соединяющей $q_1$ и $q_3$, равен $30^\circ$. Запишем уравнение равновесия для $q_1$ в проекции на эту линию (ось $OX$):

$2T_s\cos(30^\circ) - 2 F_{21}\cos(30^\circ) - F_{31} = 0$

Подставим модули сил: $F_{21} = k\frac{q_1 q_2}{l^2}$ и $F_{31} = k\frac{q_1 q_3}{(l\sqrt{3})^2} = k\frac{q_1^2}{3l^2}$.

$2T_s\cos(30^\circ) - 2k\frac{q_1 q_2}{l^2}\cos(30^\circ) - k\frac{q_1^2}{3l^2} = 0$

Выразим $T_s$:

$T_s = k\frac{q_1 q_2}{l^2} + \frac{k q_1^2}{6l^2\cos(30^\circ)}$

Так как $\cos(30^\circ) = \sqrt{3}/2$, получаем:

$T_s = k\frac{q_1 q_2}{l^2} + \frac{k q_1^2}{3\sqrt{3}l^2}$ (2)

Подставим выражение (2) для $T_s$ в уравнение (1):

$T_c = k\frac{q_2(q_1+q_4)}{l^2} - \left(k\frac{q_1 q_2}{l^2} + \frac{k q_1^2}{3\sqrt{3}l^2}\right)$

$T_c = \frac{k}{l^2} \left(q_1q_2 + q_2q_4 - q_1q_2 - \frac{q_1^2}{3\sqrt{3}}\right)$

$T_c = \frac{k}{l^2} \left(q_2q_4 - \frac{q_1^2}{3\sqrt{3}}\right)$

Учитывая, что $q_2 = q_4$ и $q_1 = q_3$, окончательная формула:

$T_{24} = \frac{k}{l^2} \left(q_2^2 - \frac{q_1^2}{3\sqrt{3}}\right)$

Подставим числовые значения:

$T_{24} = \frac{9 \cdot 10^9}{(0,09)^2} \left((7,0 \cdot 10^{-9})^2 - \frac{(5,0 \cdot 10^{-9})^2}{3\sqrt{3}}\right)$

$T_{24} = \frac{9 \cdot 10^9}{8,1 \cdot 10^{-3}} \left(49 \cdot 10^{-18} - \frac{25 \cdot 10^{-18}}{3 \cdot 1,732}\right)$

$T_{24} \approx 1,111 \cdot 10^{12} \left(49 \cdot 10^{-18} - \frac{25 \cdot 10^{-18}}{5,196}\right)$

$T_{24} \approx 1,111 \cdot 10^{12} \left(49 \cdot 10^{-18} - 4,81 \cdot 10^{-18}\right)$

$T_{24} \approx 1,111 \cdot 10^{12} \cdot (44,19 \cdot 10^{-18}) \approx 49,1 \cdot 10^{-6} \text{ Н} = 49,1 \text{ мкН}$

С учетом точности исходных данных (2 значащие цифры), округляем результат.

$T_{24} \approx 49 \text{ мкН}$

Ответ: $T_{24} \approx 49 \text{ мкН}$.