Номер 556, страница 118 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

556. В вершинах квадрата в вакууме находятся точечные заряды $+q$, $+q$, $-q$, $-q$. Причем на одной диагонали квадрата расположены разноименные заряды. На заряд $q_0 = 4,0 \text{ нКл}$, находящийся в центре квадрата, действует кулоновская сила, модуль которой $F = 9\sqrt{2} \text{ мН}$. Определите модуль каждого заряда, помещенного в вершины квадрата. Сторона квадрата $a = 8,0 \text{ см}$.

Дано:

$q_0 = 4,0 \text{ нКл} = 4,0 \times 10^{-9} \text{ Кл}$
$F = 9\sqrt{2} \text{ мН} = 9\sqrt{2} \times 10^{-3} \text{ Н}$
$a = 8,0 \text{ см} = 0,08 \text{ м}$
В вершинах квадрата находятся заряды $+q, +q, -q, -q$.
$k \approx 9 \times 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$ (электрическая постоянная)

Найти:

$|q|$

Решение:

Согласно условию, в вершинах квадрата находятся два положительных заряда $(+q)$ и два отрицательных $(-q)$, причем на одной из диагоналей расположены разноименные заряды. Это означает, что на каждой диагонали расположены разноименные заряды. Таким образом, два соседних заряда имеют знак «+», а два других соседних — знак «-».

Расположим квадрат так, чтобы его центр находился в начале координат. Заряд $q_0$ находится в центре. Расстояние от каждого заряда в вершине до центра квадрата $r$ одинаково и равно половине длины диагонали квадрата $d$:$d = a\sqrt{2}$$r = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$Квадрат этого расстояния:$r^2 = \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{a^2 \cdot 2}{4} = \frac{a^2}{2}$

На заряд $q_0$ действуют четыре силы со стороны зарядов в вершинах. Модуль силы, действующей со стороны каждого заряда, одинаков, так как модули зарядов $|q|$ и расстояния $r$ равны:$F_{indiv} = k \frac{|q| |q_0|}{r^2}$

Рассмотрим направления этих сил. Пусть $q_0$ — положительный заряд.Два положительных заряда $+q$ будут отталкивать заряд $q_0$, а два отрицательных заряда $-q$ будут его притягивать.Силы со стороны зарядов, лежащих на одной диагонали (например, $+q$ и $-q$), будут направлены в одну сторону. Сила отталкивания от $+q$ и сила притяжения к $-q$ складываются. Суммарная сила вдоль одной диагонали будет равна:$F_{d1} = F_{indiv} + F_{indiv} = 2 F_{indiv}$

Аналогично, силы со стороны зарядов на второй диагонали также направлены в одну сторону, и их суммарный модуль равен:$F_{d2} = F_{indiv} + F_{indiv} = 2 F_{indiv}$

Результирующая сила $\vec{F}$ на заряд $q_0$ является векторной суммой сил $\vec{F}_{d1}$ и $\vec{F}_{d2}$. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, поэтому векторы $\vec{F}_{d1}$ и $\vec{F}_{d2}$ также перпендикулярны. Модуль результирующей силы $F$ можно найти по теореме Пифагора:$F = \sqrt{F_{d1}^2 + F_{d2}^2} = \sqrt{(2F_{indiv})^2 + (2F_{indiv})^2} = \sqrt{2 \cdot (2F_{indiv})^2} = 2\sqrt{2} F_{indiv}$

Подставим в это выражение формулу для $F_{indiv}$ и $r^2$:$F = 2\sqrt{2} \cdot k \frac{|q| |q_0|}{r^2} = 2\sqrt{2} \cdot k \frac{|q| |q_0|}{a^2/2} = 4\sqrt{2} k \frac{|q| |q_0|}{a^2}$

Выразим из этой формулы искомый модуль заряда $|q|$:$|q| = \frac{F a^2}{4\sqrt{2} k |q_0|}$

Подставим числовые значения из условия задачи:$|q| = \frac{9\sqrt{2} \times 10^{-3} \text{ Н} \cdot (0,08 \text{ м})^2}{4\sqrt{2} \cdot 9 \times 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2} \cdot 4,0 \times 10^{-9} \text{ Кл}}$

Проведем вычисления, сократив одинаковые множители ($9\sqrt{2}$):$|q| = \frac{10^{-3} \cdot (0,08)^2}{4 \cdot 10^9 \cdot 4,0 \times 10^{-9}} = \frac{10^{-3} \cdot 0,0064}{16}$$|q| = \frac{6,4 \times 10^{-6}}{16} = 0,4 \times 10^{-6} \text{ Кл} = 4 \times 10^{-7} \text{ Кл}$

Переведем результат в нанокулоны:$|q| = 4 \times 10^{-7} \text{ Кл} = 400 \times 10^{-9} \text{ Кл} = 400 \text{ нКл}$

Ответ: модуль каждого заряда, помещенного в вершины квадрата, равен $400 \text{ нКл}$.