Номер 549, страница 117 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

549. Два точечных заряда $q_1 = 5 \cdot 10^{-4}$ Кл и $q_2 = -5 \cdot 10^{-4}$ Кл расположены в вакууме на расстоянии $l = 10$ см друг от друга (рис. 99). Определите модуль кулоновской силы, действующей на капельку масла, расположен- ную в точке A на расстоянии $r = 5$ см от середины отрезка, соединяющего заряды $q_1$ и $q_2$. Капелька содержит $n = 1 \cdot 10^{10}$ «избыточных» электронов.

Рис. 99

Дано:

$q_1 = 5 \cdot 10^{-4}$ Кл

$q_2 = -5 \cdot 10^{-4}$ Кл

$l = 10$ см

$r = 5$ см

$n = 1 \cdot 10^{10}$

$k = 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл² (коэффициент пропорциональности в законе Кулона)

$e = -1.6 \cdot 10^{-19}$ Кл (заряд электрона)

$l = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$
$r = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

$F_{рез}$ - модуль кулоновской силы, действующей на капельку.

Решение:

1. Определим заряд капельки масла ($q_{к}$). Капелька содержит $n$ избыточных электронов, поэтому ее заряд будет отрицательным и равным:

$q_{к} = n \cdot e = 1 \cdot 10^{10} \cdot (-1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}) = -1.6 \cdot 10^{-9}$ Кл

2. На капельку масла в точке А действуют две силы: сила $\vec{F_1}$ со стороны заряда $q_1$ и сила $\vec{F_2}$ со стороны заряда $q_2$. Результирующая сила является векторной суммой этих сил: $\vec{F}_{рез} = \vec{F_1} + \vec{F_2}$.

3. Точка А расположена на перпендикуляре к середине отрезка, соединяющего заряды. Поэтому расстояния от зарядов $q_1$ и $q_2$ до точки А одинаковы. Найдем это расстояние $R$ по теореме Пифагора, рассматривая прямоугольный треугольник, где катеты – это $r$ и половина расстояния между зарядами $l/2$:

$R = \sqrt{r^2 + (l/2)^2} = \sqrt{(0.05 \text{ м})^2 + (0.1 \text{ м} / 2)^2} = \sqrt{(0.05)^2 + (0.05)^2} = \sqrt{2 \cdot (0.05)^2} = 0.05\sqrt{2}$ м

4. Модули сил $F_1$ и $F_2$ равны, так как модули зарядов $|q_1|$ и $|q_2|$ равны, и расстояния до точки А одинаковы. Рассчитаем модуль этих сил по закону Кулона:

$F_1 = F_2 = F = k \frac{|q_1| |q_{к}|}{R^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{5 \cdot 10^{-4} \cdot 1.6 \cdot 10^{-9}}{(0.05\sqrt{2})^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{8 \cdot 10^{-13}}{0.005} = \frac{72 \cdot 10^{-4}}{5 \cdot 10^{-3}} = 1.44$ Н

5. Теперь найдем результирующую силу. Сила $\vec{F_1}$ является силой притяжения (так как заряды $q_1$ и $q_{к}$ разноименные) и направлена от точки А к заряду $q_1$. Сила $\vec{F_2}$ является силой отталкивания (так как заряды $q_2$ и $q_{к}$ одноименные) и направлена по прямой от $q_2$ через точку А.

Разложим векторы сил на горизонтальные и вертикальные составляющие. Пусть ось X проходит через заряды $q_1$ и $q_2$, а ось Y — через точку А перпендикулярно оси X.

Вертикальные составляющие сил равны по модулю ($F_y = F \cdot \sin\alpha$, где $\alpha$ - угол между $R$ и осью X) и противоположны по направлению, поэтому они компенсируют друг друга. Результирующая сила будет направлена горизонтально (вдоль оси X) и равна сумме горизонтальных проекций сил $F_1$ и $F_2$.

$F_{рез} = F_{1x} + F_{2x} = F \cos\alpha + F \cos\alpha = 2F \cos\alpha$

Найдем косинус угла $\alpha$ из геометрии:

$\cos\alpha = \frac{l/2}{R} = \frac{0.05 \text{ м}}{0.05\sqrt{2} \text{ м}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Подставим значения в формулу для результирующей силы:

$F_{рез} = 2 \cdot 1.44 \text{ Н} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \cdot 1.44 \text{ Н} \approx 1.414 \cdot 1.44 \text{ Н} \approx 2.04$ Н

Ответ: $F_{рез} \approx 2.04$ Н.