Номер 551, страница 117 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

551. В вакууме на одинаковом расстоянии друг от друга на окружности, радиус которой $R = 9,0$ см, закреплены точечные заряды $q_1 = q_2 = 3,0$ нКл и $q_3 = -3,0$ нКл. Определите модуль результирующей электростатических сил, с которыми будут действовать эти заряды на точечный заряд $q_0 = 1,5$ нКл, если его поместить в центр окружности.

Дано

$R = 9,0 \text{ см} = 9,0 \cdot 10^{-2} \text{ м}$

$q_1 = q_2 = 3,0 \text{ нКл} = 3,0 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

$q_3 = -3,0 \text{ нКл} = -3,0 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

$q_0 = 1,5 \text{ нКл} = 1,5 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

$k \approx 9,0 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$ (электрическая постоянная)

Найти:

$F_{рез}$ - модуль результирующей электростатической силы.

Решение

На заряд $q_0$, помещенный в центр окружности, действуют три электростатические силы со стороны зарядов $q_1$, $q_2$ и $q_3$. Согласно принципу суперпозиции электростатических полей, результирующая сила, действующая на заряд $q_0$, равна векторной сумме этих сил:

$\vec{F}_{рез} = \vec{F}_{10} + \vec{F}_{20} + \vec{F}_{30}$

где $\vec{F}_{10}$, $\vec{F}_{20}$ и $\vec{F}_{30}$ - силы, действующие на заряд $q_0$ со стороны зарядов $q_1$, $q_2$ и $q_3$ соответственно.

Расстояние от каждого из зарядов на окружности до центрального заряда $q_0$ равно радиусу окружности $R$.

Модуль силы, действующей на заряд $q_0$ со стороны каждого из зарядов $q_i$, определяется по закону Кулона:

$F = k \frac{|q_i q_0|}{R^2}$

Так как модули зарядов $|q_1| = |q_2| = |q_3| = 3,0 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$, то и модули сил, с которыми они действуют на заряд $q_0$, также равны между собой:

$F_{10} = F_{20} = F_{30} = F$

Вычислим модуль этой силы:

$F = k \frac{|q_1 q_0|}{R^2} = 9,0 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2} \cdot \frac{|(3,0 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}) \cdot (1,5 \cdot 10^{-9} \text{ Кл})|}{(9,0 \cdot 10^{-2} \text{ м})^2}$

$F = 9,0 \cdot 10^9 \cdot \frac{4,5 \cdot 10^{-18}}{81 \cdot 10^{-4}} = \frac{9,0 \cdot 4,5}{81} \cdot 10^{9-18+4} = 0,5 \cdot 10^{-5} \text{ Н} = 5,0 \cdot 10^{-6} \text{ Н}$

Теперь определим направление сил и выполним векторное сложение. Поскольку заряды $q_1$ и $q_2$ положительны (одноименны с $q_0$), силы $\vec{F}_{10}$ и $\vec{F}_{20}$ являются силами отталкивания. Заряд $q_3$ отрицателен (разноименен с $q_0$), поэтому сила $\vec{F}_{30}$ является силой притяжения.

Заряды $q_1$, $q_2$ и $q_3$ расположены на окружности на одинаковом расстоянии друг от друга, значит, они образуют вершины правильного треугольника. Угол между радиус-векторами, проведенными из центра к соседним зарядам, составляет $360^\circ/3 = 120^\circ$. Следовательно, угол между векторами сил отталкивания $\vec{F}_{10}$ и $\vec{F}_{20}$ также равен $120^\circ$.

Найдем сумму векторов $\vec{F}_{10}$ и $\vec{F}_{20}$. Модуль их результирующей $\vec{F}_{12}$ найдем по теореме косинусов:

$F_{12} = \sqrt{F_{10}^2 + F_{20}^2 + 2 F_{10} F_{20} \cos(120^\circ)} = \sqrt{F^2 + F^2 + 2 F^2 (-\frac{1}{2})} = \sqrt{2F^2 - F^2} = F$

Вектор $\vec{F}_{12}$ направлен по биссектрисе угла между $\vec{F}_{10}$ и $\vec{F}_{20}$. Это направление совпадает с направлением силы притяжения $\vec{F}_{30}$ (т.е. в сторону заряда $q_3$).

Таким образом, результирующая сила $\vec{F}_{рез}$ является суммой двух сонаправленных векторов $\vec{F}_{12}$ и $\vec{F}_{30}$. Её модуль равен сумме их модулей:

$F_{рез} = F_{12} + F_{30} = F + F = 2F$

Подставим численное значение $F$:

$F_{рез} = 2 \cdot (5,0 \cdot 10^{-6} \text{ Н}) = 10 \cdot 10^{-6} \text{ Н} = 10 \text{ мкН}$

Ответ: модуль результирующей электростатических сил равен $10 \text{ мкН}$.